Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Struktur Aljabar

Misalkan $G$ suatu grup dengan $|G| = 2013$. Ada berapa banyak subgrup $H$ dari $G$ sehingga $|H| = 13$?

Perhatikan grup dihedral dengan order 8: $D_8 = \{e,y,y^2,y^3,x,xy,xy^2,xy^3\}, x^2 = y^4 = e~\text{dan}~ xy = y^{-1}x.$ Banyaknya unsur berorde dua di $D_8$ adalah $\dots$

Diberikan $\mathbb{Z}_2$ sistem bilangan bulat modulo 2 dan himpunan $G = \left\{\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\0 & a_{22} \end{pmatrix} : a_{ij}\in\mathbb{Z}_2\right\}.$ Banyaknya subgrup berorde dua dari $G$ adalah $\dots$

Ada berapa banyak $n\in\mathbb{Z}$ sehingga ideal $\langle n,x\rangle$ di $\mathbb{Z}[x]$ merupakan ideal utama?

Invers polinom $f(x) = x + 1 \in \dfrac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^7 + x + 1\rangle}$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu himpunan dengan operasi perkalian yang asosiatif. Misalkan terdapat $e\in G$ sehingga

(a) $xe = x$ untuk setiap $x\in G$ dan

(b) Untuk setiap $x\in G$, terdapat $y\in G$ sehingga $xy = e$.

Buktikan bahwa $G$ adalah grup.

Misalkan $R$ suatu gelanggang di mana unsur kesatuan $1_R$ tidak sama dengan nol. Unsur $e\in R$ disebut unsur idempoten apabila $e^2 = e$.

(a) Jika $e\in R$ merupakan unsur idempoten, tunjukkan bahwa $1 - e$ juga merupakan unsur idempoten.

(b) Jika $R$ memiliki $n$ buah idempoten, tunjukkan bahwa $n$ merupakan bilangan genap.