Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Aljabar Linear

Misalkan $W = \{ f\in C[1,2] \mid \int_1^2 f(x) \,\mathrm{d}x = a\}$. Agar $W$ merupakan subruang dari ruang vektor $C[1,2]$, haruslah $a = \dots$

Diberikan vektor-vektor $f_1(x) = e^x, f_2(x) = xe^x,$ dan $f_3(x) = x^k e^x$ di ruang vektor $C(-\infty,\infty)$. Nilai-nilai bilangan real $k$ yang menyebabkan bebas linear adalah $\dots$

Misalkan $K = \{(x,y,z) \mid x - y + z = 0\}$ dan $L = \text{span}(1,0,1)$ adalah dua subruang dari $\mathbb{R}^3$. Penulisan $(1,0,0)$ sebagai unsur $K\oplus L$ adalah $\dots$

Misalkan $T : P_2\to P_2$ pemetaan linear dengan definisi $T(p)(x) = x\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p(x)),$ untuk setiap $p\in P_2$. Nolitas (dimensi subruang inti) $T^2$ adalah $\dots$

Jika $\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}$ adalah vektor karakteristik matriks $\begin{bmatrix}3 & 2 - a\\ a & 3\end{bmatrix}$, maka nilai karakteristik yang bersesuaian adalah $\dots$

Misalkan $A$ adalah matriks $5\times 5$ yang memenuhi $A^{2013} = 0$. Banyaknya nilai karakteristik $A$ yang berbeda adalah $\dots$

Jika $A = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 4 & -3\end{bmatrix}$ maka $2A^{2013} - A^{2012} + 2A^{2011} - A^{2010} - 2A^{2009} - A + 4I = \dots$

Pandang $P_2$ dengan hasil kali dalam $\langle p,q\rangle = \int_{-1}^1 p(x)q(x)\,\mathrm{d}x$. Proses Gram-Schmidt pada $\{x,1-x\}$ menghasilkan $\dots$

Misalkan $V$ adalah ruang hasil kali dalam real. Buktikan bahwa untuk setiap $x,y\in V$ berlaku $||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2).$

Misalkan $A = [a_{ij}] \in\mathbb{R}^{2013\times 2013}$ dengan $a_{ij} = \begin{cases} i, &\text{jika } j> i \text{ atau } j = i - 1 \\ 0, &\text{jika } j = 1 \text{ atau } j < i - 1. \end{cases}$ Tentukan $\det(A)$.

Diberikan ruang hasil kali dalam $P_2$ dengan hasil kali dalam $\langle p(x),q(x)\rangle = \int_{-1}^1 p(x)q(x)\,\mathrm{d}x$ untuk setiap $p(x),q(x) \in P_2$. Misalkan $r(x) =\frac{1}{\sqrt 2}, s(x) = \sqrt{\frac{3}{2}}x,$ dan $t(x) = \sqrt{\frac{45}{8}} (x^2 - \frac{1}{3}).$ Jika $\alpha, \beta,$ dan $\gamma$ berturut-turut adalah sudut antara vektor $u(x) = ax^2 + bx + c$ dengan vektor $r(x), s(x),$ dan $t(x)$. Tentukan nilai dari $\cos^2 \alpha + \cos^2\beta+ \cos^2 \gamma$.