Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Kombinatorika

Semua bilangan bulat positif $a,b,$ dan $c$ yang memenuhi $a! + b! = c!$ adalah $\dots$

Banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menutupi persegi panjang $1\times 9$ dengan persegi panjang $1\times 1, 1\times 2, 1\times 3,$ atau $1\times 4$ adalah $\dots$

Seorang mahasiswa harus bekerja di lab selama lima hari dalam bulan Januari. Aturan lab mensyaratkan mahasiswa tidak boleh bekerja dalam dua hari berurutan. Banyaknya cara mahasiswa tersebut dapat menjadwalkan dirinya untuk bekerja di lab adalah $\dots$

Banyaknya kombinasi solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan $x_1 + x_2 + x_3 = 7$ dengan $x_1 \le 2, x_2\le 3,$ dan $x_3\le 4$ adalah $\dots$

Untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, nilai dari $\binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \binom{n}{2}^2 + \dots + \binom{n}{n}^2$ adalah $\dots$

Dua bilangan positif $a$ dan $b$ dikatakan prima relatif bila pembagi persekutuan terbesar $a$ dan $b$ adalah $1$. Banyaknya bilangan bulat positif $k \le 210$ yang prima relatif terhadap 210 adalah $\dots$

Seorang agen perjalanan harus mengunjungi empat kota masing-masing sebanyak lima kali. Jika kunjungan harus dimulai dan berakhir di dua kota berbeda, banyaknya kunjungan berbeda yang dapat dilakukan adalah $\dots$

Untuk semua bilangan bulat positif $n\ge 2$, nilai dari $\sum_{k = 2}^n k(k - 2)\binom{n}{k}$ adalah $\dots$

Diberikan tujuh bilangan real berbeda. Tunjukkan bahwa selalu dapat dipilih dua di antaranya, sebut $a$ dan $b$, yang memenuhi $0 < \dfrac{a - b}{ab + 1} < \sqrt 3$.

Seorang pelajar akan menaiki tangga pada sebuah bangunan. Pada setiap langkah, pelajar tersebut dapat menggunakan satu anak tangga atau dua anak tangga. Misalkan $f(n)$ menyatakan banyaknya cara yang dapat dia tempuh untuk mencapai anak tangga ke-$n$. Berikan sebuah formula eksplisit bagi $f(n)$.

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas $n$ anggota $a_1a_2\dots a_n$ yang memenuhi dua kondisi berikut:

• $a_i \in \{1,3,5,7,9\}$ untuk $i = 1,2,\dots, n$
• Angka 1 dan 3 muncul sebanyak $k \ge 2$ kali di mana $k$ adalah bilangan genap.