Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Diberikan suatu barisan $(a_n)$ dan $(b_n)$ dengan $a_n = \log(n + \sqrt{4n + 1})$ dan $b_n = \log((n + 1)\sqrt n)$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$. Didefinisikan barisan $(c_n)$ dengan $c_n = a_n - b_n$, untuk setiap $n$, maka $\displaystyle \lim_{n\to\infty }c_n = \dots$

Salah satu himpunan $A\subseteq \mathbb{R}$, dengan $A^\circ = \emptyset$ tetapi $\bar{A} = \mathbb{R}$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f$ bernilai real terdefinisi pada $[1,\infty)$ memenuhi $f(1) = 1$ dan $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x^2 +(f(x))^2}$. Nilai $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)$ adalah $\dots$

Diketahui $A =\left\{n + \frac{(-1)^n}{n} : n\in\mathbb{N} \right\}$. Nilai $\sup A$ dan $\inf A$ jika ada berturut-turut adalah $\dots$

Salah satu contoh fungsi kontinu $f:[1,4] \to\mathbb{R}$ dengan sifat setiap bilangan $K>0$ terdapat $x,y \in [1,4]$ dengan $|f(x) - f(y)| > K|x-y|$ adalah $\dots$

Diketahui $a < b$ dan fungsi $f : [a,b]\to\mathbb{R}$ positif dan kontinu. Nilai $B$ agar $\displaystyle B\sqrt{\int_a^b f} \ge \int_a^b \sqrt f$ adalah $\dots$

Untuk nilai $n\to\infty,$ jumlahan $\displaystyle \sum_{k =1}^n \sqrt{\frac{(-1)^k}{k2^k}}$ konvergen ke $\dots$

Salah satu contoh himpunan $A\subseteq \mathbb{R}$ dan barisan fungsi $(f_n)$ yang konvergen seragam pada $A$ tetapi $(f_n^2)$ tidak konvergen seragam pada $A$ adalah $\dots$

Diketahui $B\subseteq \mathbb{R}$, $B\neq \emptyset$, dan $B$ terbatas ke bawah. Didefinisikan $A =\{x\in\mathbb{R} : x\text{ merupakan batas bawah dari } B\}$. Buktikan $A\neq \emptyset$ dan terbatas ke atas serta $\sup A = \inf B$.

Diberikan fungsi kontinu $f :[a,b]\to\mathbb{R}$ dan fungsi naik monoton $g : f[a,b]\to \mathbb{R}$. Tunjukkan terdapat $x^* \in[a,b]$ dengan $(g\circ f)(x^*) = \sup\{g(y) : y = f(x), x\in[a,b]\}$.

Tunjukkan pernyataan berikut: “Jika fungsi $f$ mempunyai derivatif di setiap $x\in[a,b]$ maka untuk setiap $\gamma$ di antara $f'(a)$ dan $f'(b)$ terdapat $c\in[a,b]$ dengan $f'(c) = \gamma$.”