Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Kompleks

Berapa banyak akar real berbeda dari persamaan $z^{12}=1$ yang bukan merupakan bilangan real?

Diketahui $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ adalah fungsi analitik dengan $f(z)=u(x)+iv(y)$ untuk setiap bilangan kompleks $z=x+iy$. Jika $f(20)=17$ dan $f(17)=20$ maka nilai dari $f(2017)$ adalah $\dots$

Untuk sebarang bilangan kompleks $a$ dan bilangan real positif $r$, didefinisikan $D_r(a)=\{z\in \mathbb{C}:|z-a|<r\}.$

Jika fungsi $T(z)=\frac{z}{z+1}$ memenuhi $T^{-1}(D_r(0))=D_{2017r}(a)$ maka $a=\dots$

Misalkan $f$ adalah suku banyak berderajat 2 yang memenuhi $\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=2}\frac{z{f}^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=0,\text{dan}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=2}\frac{z^2{f}^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=-2.$ Jika $f(0)=2017$ maka rumus eksplisit dari $f(z)$ adalah $\dots$

Misalkan $\lambda$ bilangan kompleks yang memenuhi ${\lambda }^{2017}=1$ dan $\lambda \ne 1$.

(a) Buktikan bahwa $1,\lambda ,{\lambda }^2,{\lambda }^3,\dots ,{\lambda }^{2016}$ semuanya berbeda.

(b) Hitung nilai dari $(1+\lambda )(1+{\lambda }^2)(1+{\lambda }^3)\dots (1+{\lambda }^{2016}).$

Diberikan bilangan real positif $M$. Misalkan fungsi analitik $f:D\to \mathbb{C}$ dengan $D=\{z:|z|\le 1\}$ mempunyai deret $f(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$ dan memenuhi $|f(z)|\le M$ untuk setiap $z\in D$.

(a) Untuk setiap $n\ge 1$ dan $0<r<1$, buktikan bahwa $|a_n|=\frac{1}{2\pi }\left|{\int }_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{n+1}}\mathrm{d}z\right|.$

(b) Dengan menggunakan (a) dan mengambil $r\to 1$, buktikan bahwa $|a_n|\le M$ untuk setiap $n\ge 0.$