Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Diberikan himpunan $A\subset \mathbb{R}$ dengan $B=\left\{\frac{1}{x}|x\in A\right\}$. Jika $\inf A>0$, maka $\sup B=\dots$ dan jika $\inf A=0$, maka $\sup B=\dots$

Diberikan barisan bilangan real $(a_n)$ dengan $a_n={\sum }_{k=1}^n\frac{k!+4^{k+1}}{k!4^k}$, maka ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\dots$

Misalkan $a$ bilangan asli terkecil yang mengakibatkan $\mathbb{Z}[x]/⟨a,x^2+1⟩$ merupakan suatu field/lapangan yang mempunyai lebih dari satu unsur. Jika banyaknya unsur di lapangan ini adalah $b$, maka nilai $a\times b$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ adalah suatu grup berorde 2021. Misalkan juga $x$ dan $y$ merupakan dua unsur di $G$ yang tidak sama dengan identitas dan memiliki orde yang berbeda. Jika $H$ adalah subgrup terkecil yang memuat $x$ dan $y$, maka banyaknya unsur di $H$ adalah $\dots$

Solusi dari relasi rekuren $x_n=4x_{n-1}-3x_{n-2}+2^n$ ($n\ge 3$) dengan syarat $x_1=1$, $x_2=11$ adalah $\dots$

Diberikan barisan bilangan real positif $(x_n)$ dengan $x_{n+1}\le x_n-\frac{1}{2^n}$, $n\in \mathbb{N}$. Buktikan bahwa barisan $(x_n)$ konvergen kemudian tentukan nilai limitnya.

Diberikan fungsi kontinu $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Jika setiap himpunan terbuka $G$ diperoleh $f(G)$ terbuka, buktikan bahwa fungsi $f$ monoton.

Misalkan $S$ himpunan yang memiliki dua operasi biner $\circ$ dan $\star$. Diketahui bahwa masing-masing operasi mempunyai unsur identitas (yang tidak mesti sama) dan untuk setiap $a,b,c,d\in S$ berlaku $(a\star b)\circ (c\star d)=(a\circ c)\star (b\circ d)$ Haruskah operasi biner $\circ$ dan $\star$ merupakan operasi yang sama?

Misalkan ${\mathbb{Z}}_3[x]$ merupakan gelanggang polinom dengan koefisien-koefisien di ${\mathbb{Z}}_3$. Diberikan $f(x)\in {\mathbb{Z}}_3[x]$ dengan $x^{2k}-1$ membagi $(f(x){)}^2-1$ untuk suatu bilangan asli $k\ge 1$. Buktikan:

(a) $(f(x)-1)(f(x)+1)=a(x)(x^2-1)$ dan $(f(x)-x)(f(x)+x)=b(x)(x^2-1)$, untuk suatu $a(x)$ dan $b(x)$ di ${\mathbb{Z}}_3[x]$.

(b) Jika $x^2-1$ tidak membagi $f(x)-x$ dan $f(x)+x$, maka $x^2-1$ membagi $f(x)-1$ atau $f(x)+1$.

Misalkan $N$ adalah suatu bilangan bulat positif, dan $j$ adalah suatu bilangan irrasional. Buktikan bahwa terdapat bilangan rasional $a/b$ dengan $1\le b\le N$ memenuhi $\left|j-\frac{a}{b}\right|<\frac{1}{b(N+1)}$

Misalkan $T$ pemetaan linear dari ${\mathbb{R}}^{2021}$ ke ${\mathbb{R}}^3$ sehingga untuk setiap $\mathbf{x}$ di ${\mathbb{R}}^{2021}$, vektor $T(\mathbf{x})$ di ${\mathbb{R}}^3$ berbentuk $T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ a+b\end{array}\right]$ untuk suatu $a,b\in \mathbb{R}$. Dimensi terkecil yang mungkin dari kernel $T$ adalah $\dots$

Banyaknya nilai eigen positif dari matriks $M=\left[\begin{array}{ccccc}-1& 3& 0& 0& 0\\ 3& 2& -1& 0& 0\\ 0& -1& 2& -1& 0\\ 0& 0& -1& 2& -1\\ 0& 0& 0& -1& 2\end{array}\right]$ adalah $\dots$

Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real dengan $0<a<b<2\pi$ yang memenuhi persamaan $e^{ib}+e^{ia}=i\sqrt{2}$, maka nilai dari $\frac{b}{a}$ adalah $\dots$

Fungsi kompleks $f(z)=\frac{1}{z}$ memetakan garis $\text{Re}(z)=\frac{1}{4}$ ke lingkaran dengan jari-jari $\dots$

Kata sandi tanpa perulangan karakter dibentuk dengan menggunakan huruf kapital. Sebuah kata sandi dikatakan sempurna bila tidak memuat untaian karakter $XYZ$ maupun $ZYX$. Besarnya peluang untuk membentuk kata sandi sempurna yang terdiri atas 8 huruf adalah $\dots$

(a) Misalkan $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ suatu pemetaan yang didefinisikan dengan $T(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& \text{jika }x=(1,0,0)\\ x,& \text{jika }x\ne (1,0,0)\end{array}$ Buktikan bahwa $T$ pemetaan tidak linear dan jika $u\cdot v=0$, maka berlaku $T(u)\cdot T(v)=0$.

(b) Jelaskan apakah terdapat pemetaan tidak linear $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ sehingga berlaku $T(u)\cdot T(v)=u\cdot v$ untuk setiap $u,v\in {\mathbb{R}}^3$!

Suatu matriks $B$ berukuran $2\times 2$ dengan komponen real dikatakan menarik jika terdapat matriks $A$ berukuran $2\times 2$ dengan komponen real sehingga $AB-BA=B^2$

(a) Jelaskan apakah matriks $B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ menarik atau tidak!

(b) Jika matriks $B$ menarik, buktikan bahwa $B$ nilpoten, yakni $B^2=0$.

Misalkan $A=\{z\in \mathbb{C}:|z|\le 1\}$ dan $B=\{z=x+(4-2x)i:x\in \mathbb{R}\}$. Jika $C=\{a-b:a\in A,b\in B\}$, maka tentukan $\inf \{|c|:c\in C\}$.

Diketahui fungsi $f(z)$ analitik pada domain $D$. Jika ada konstanta $c_1,c_2\in \mathbb{C}$ yang tidak semuanya nol sehingga $c_{1}f(z)+c_2\overline{f(z)}=0$ untuk setiap $z\in D$, maka buktikan bahwa $f(z)$ adalah fungsi konstan pada $D$.

Pengubinan dengan panjang $n\ge 1$ adalah sebuah cara menutupi lantai berukuran $1\times n$ dengan menggunakan ubin berukuran $1\times 1$ berwarna merah, putih, hijau, kuning, atau biru. Sebuah pengubinan dikatakan ideal bila pengubinan menggunakan genap ubin merah, genap ubin hijau, dan ganjil ubin biru. Tentukan banyaknya pengubinan ideal dengan panjang $n$.