Definisi dan Sifat-Sifat Dasar Grup

Penelaahan struktur aljabar selalu dimulai dengan definisi mengenai bagaimana unsur-unsur dalam suatu himpunan berinteraksi melalui suatu operasi biner. Grup merupakan abstrak aljabar paling mendasar yang memodelkan simetri dan struktur aritmetika.

1. Operasi Biner dan Aksioma Grup

Definisi (Operasi Biner)

Misalkan $G$ adalah suatu himpunan tidak kosong. Operasi biner (binary operation) $*$ pada $G$ adalah suatu pemetaan $* : G \times G \to G$ yang mengaitkan setiap pasangan terurut $(a, b) \in G \times G$ dengan tepat satu unsur $a * b \in G$ .

Definisi (Grup & Grup Abelian)

Suatu grup (group) $(G, *)$ adalah himpunan tidak kosong $G$ yang dilengkapi dengan operasi biner $*$ yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Asosiatif: Untuk setiap $a, b, c \in G$ , berlaku $(a * b) * c = a * (b * c)$ .
Unsur Identitas: Terdapat unsur $e \in G$ sedemikian sehingga $a * e = e * a = a$ untuk setiap $a \in G$ .
Unsur Invers: Untuk setiap $a \in G$ , terdapat $a^{- 1} \in G$ sedemikian sehingga $a * a^{- 1} = a^{- 1} * a = e$ .

Jika $G$ juga memenuhi sifat komutatif ( $a * b = b * a$ untuk semua $a, b \in G$ ), maka $G$ disebut Grup Abelian.

2. Ketunggalan dan Hukum Kanselasi

Teorema (Ketunggalan Identitas dan Invers)

Misalkan $G$ adalah suatu grup. Maka berlaku:

Unsur identitas $e \in G$ adalah tunggal.
Untuk setiap $a \in G$ , invers $a^{- 1}$ adalah tunggal.
Untuk setiap $a, b \in G$ , berlaku $(a * b)^{- 1} = b^{- 1} * a^{- 1}$ .
Untuk setiap $a \in G$ , berlaku $(a^{- 1})^{- 1} = a$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Hukum Kanselasi dalam Grup)

Buktikan bahwa dalam suatu grup $G$ , hukum kanselasi berlaku: jika $a * b = a * c$ , maka $b = c$ .

Contoh (Grup Elemen Berkuadrat Dua (a^2 = e))

Misalkan $G$ adalah grup sedemikian sehingga $a^{2} = e$ untuk setiap $a \in G$ . Buktikan bahwa $G$ adalah grup Abelian.

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Operasi Terdefinisi Khusus pada Q+)

Diberikan himpunan bilangan rasional positif $Q^{+}$ . Definisikan operasi biner $*$ dengan $a * b = \frac{ab}{2}$ . Periksa apakah $(Q^{+}, *)$ membentuk grup.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Tertutup & Asosiatif: $a * (b * c) = a * (\frac{b c}{2}) = \frac{ab c}{4} = (a * b) * c$ .
Identitas: Cari $e$ s.t. $a * e = a ⟹ \frac{a e}{2} = a ⟹ e = 2 \in Q^{+}$ .
Invers: Cari $a^{- 1}$ s.t. $a * a^{- 1} = 2 ⟹ \frac{a a ^{- 1}}{2} = 2 ⟹ a^{- 1} = \frac{4}{a} \in Q^{+}$ . Maka $(Q^{+}, *)$ adalah grup Abelian. $■$

Navigasi Sub-Topik

Sub-Topik Selanjutnya: Subgrup dan Kriteria Subgrup →

Definisi dan Sifat-Sifat Dasar Grup

1. Operasi Biner dan Aksioma Grup

2. Ketunggalan dan Hukum Kanselasi

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (3 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Subgrup dan Kriteria Subgrup

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title