Subgrup dan Kriteria Subgrup

Seringkali kita menjumpai himpunan bagian dari grup yang dengan sendirinya membentuk grup terhadap operasi yang sama. Fenomena ini membawa kita pada konsep subgrup.

1. Definisi dan Kriteria Subgrup

Definisi (Subgrup)

Misalkan $(G, *)$ adalah suatu grup dan $H$ adalah himpunan bagian (subset) tidak kosong dari $G$ . $H$ dikatakan subgrup (subgroup) dari $G$ (ditulis $H \leq G$ ) jika $H$ membentuk grup terhadap operasi $*$ yang sama.

Teorema (Uji Subgrup Satu Langkah)

Misalkan $G$ adalah grup dan $H \subseteq G$ tidak kosong. $H \leq G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ , berlaku:

$a b^{- 1} \in H$

Teorema (Uji Subgrup Dua Langkah)

Misalkan $G$ adalah grup dan $H \subseteq G$ tidak kosong. $H \leq G$ jika dan hanya jika:

Tertutup: Untuk setiap $a, b \in H ⟹ ab \in H$ .
Invers: Untuk setiap $a \in H ⟹ a^{- 1} \in H$ .

2. Sentralis Unsur

Definisi (Sentralis (Centralizer))

Misalkan $G$ adalah grup dan $a \in G$ . Sentralis dari $a$ dalam $G$ adalah:

$C (a) = {g \in G : g a = a g}$

Teorema (Subgrup Sentralis)

Untuk setiap $a \in G$ , $C (a)$ selalu merupakan subgrup dari $G$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Subgrup Matriks SL(n, R))

Buktikan bahwa $S L (n, R) = {A \in G L (n, R) : det (A) = 1}$ merupakan subgrup dari $G L (n, R)$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Irisan dan Gabungan Subgrup)

Misalkan $H$ dan $K$ adalah subgrup dari $G$ . Buktikan bahwa $H \cap K \leq G$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

$e \in H$ dan $e \in K ⟹ e \in H \cap K \neq = \emptyset$ .
Ambil $a, b \in H \cap K$ . Karena $a, b \in H ⟹ a b^{- 1} \in H$ . Karena $a, b \in K ⟹ a b^{- 1} \in K$ .
Maka $a b^{- 1} \in H \cap K$ . Berdasarkan Uji Satu Langkah, $H \cap K \leq G$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Definisi dan Sifat-Sifat Dasar Grup
Sub-Topik Selanjutnya: Grup dan Subgrup Siklik →

1. Definisi dan Kriteria Subgrup

2. Sentralis Unsur

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Definisi dan Sifat-Sifat Dasar Grup

Grup dan Subgrup Siklik

Diskusi & Tanya Jawab

Title