Struktur Ring Polinomial R[x]

Ring polinomial merupakan salah satu objek paling kaya dalam aljabar abstrak yang memperluas konsep polinomial sekolah menengah ke domain ring abstrak.

1. Definisi Ring Polinomial R[x]

Definisi (Ring Polinomial)

Misalkan $R$ adalah ring komutatif. Himpunan semua polinomial dengan koefisien di $R$ dalam variabel $x$ , dinotasikan $R [x]$ , didefinisikan sebagai:

$R [x] = {a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} : a_{i} \in R, n \geq 0}$

Terhadap penjumlahan dan perkalian polinomial biasa, $R [x]$ merupakan sebuah ring.

2. Derajat dan Keterwarisan Sifat

Teorema (Derajat Polinomial dalam Daerah Integral)

Jika $D$ adalah daerah integral, maka untuk setiap $f (x), g (x) \in D [x]$ tak nol:

$deg (f \cdot g) = deg (f) + deg (g)$

Akibatnya, jika $D$ adalah daerah integral, maka $D [x]$ juga merupakan daerah integral.

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Elemen Unit dalam Ring Polinomial)

Misalkan $D$ adalah daerah integral. Buktikan bahwa elemen unit di $D [x]$ hanyalah elemen unit dari $D$ (polinomial berderajat 0).

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Perkalian Polinomial di Z_4[x])

Tunjukkan bahwa di $Z_{4} [x]$ , $deg (f \cdot g)$ tidak selalu sama dengan $deg (f) + deg (g)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Pilih $f (x) = 2 x + 1$ ( $deg = 1$ ) dan $g (x) = 2 x + 3$ ( $deg = 1$ ). Hitung $f (x) g (x) = (2 x + 1) (2 x + 3) = 4 x^{2} + 8 x + 3 \equiv 3 (mod 4)$ . Di sini $deg (f \cdot g) = 0 \neq = 1 + 1 = 2$ . Sifat ini gagal karena $Z_{4}$ memuat pembagi nol ( $2 \cdot 2 = 0$ ). $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Latihan Soal Bab 6: Ideal dan Ring Kuosien
Sub-Topik Selanjutnya: Daerah Euclid, PID, dan UFD →

1. Definisi Ring Polinomial R[x]

2. Derajat dan Keterwarisan Sifat

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Daerah Euclid, PID, dan UFD

Latihan Soal Bab 6: Ideal dan Ring Kuosien

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title