Daerah Euclid, PID, dan UFD

Daerah Euclid (ED) adalah jenis daerah integral yang dilengkapi dengan norma pembagian dengan sisa.

1. Definisi Daerah Euclid

Definisi (Daerah Euclid)

Suatu daerah integral $D$ disebut Daerah Euclid jika terdapat fungsi norma $d : D ∖ {0} \to Z_{\geq 0}$ sedemikian sehingga:

Untuk setiap $a, b \in D ∖ {0} ⟹ d (a) \leq d (ab)$ .
Untuk setiap $a, b \in D$ ( $b \neq = 0$ ), terdapat $q, r \in D$ sedemikian sehingga $a = b q + r$ dengan $r = 0$ atau $d (r) < d (b)$ .

$Z$ dengan $d (n) = ∣ n ∣$ .
$F [x]$ atas lapangan $F$ dengan $d (f (x)) = deg (f (x))$ .
Bilangan Bulat Gauss $Z [i] = {a + bi : a, b \in Z}$ dengan $d (a + bi) = a^{2} + b^{2}$ .

Teorema (Hirarki Daerah Euclid)

Setiap Daerah Euclid (ED) adalah Daerah Ideal Utama (PID), dan setiap PID adalah Daerah Faktorisasi Tunggal (UFD).

$ED ⟹ PID ⟹ UFD$

Contoh (Pembagian di Z[i])

Cari hasil bagi $q$ dan sisa $r$ dari pembagian $a = 3 + 5 i$ oleh $b = 1 + 2 i$ di $Z [i]$ .

✏️ Latihan Soal 1 (Unit dalam Daerah Euclid)

Buktikan bahwa dalam Daerah Euclid $D$ , elemen $u \in D$ adalah unit jika dan hanya jika $d (u) = d (1)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

( $⟹$ ) Jika $u$ unit $⟹ 1 = u \cdot u^{- 1} ⟹ d (1) \leq d (u \cdot u^{- 1}) = d (1)$ . Sisi lain $d (u) \leq d (u \cdot u^{- 1}) = d (1) ⟹ d (u) = d (1)$ .
( $⟸$ ) Jika $d (u) = d (1)$ , bagi $1$ oleh $u$ : $1 = u q + r$ . Jika $r \neq = 0 ⟹ d (r) < d (u) = d (1)$ , padahal $d (1) \leq d (r)$ (kontradiksi). Maka $r = 0 ⟹ 1 = u q ⟹ u$ unit. $■$