Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Kompleks

Diketahui bilangan kompleks $a$ dengan $|a|<1$. Didefinisikan pemetaan ${\phi }_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}.$ Jika $|z|=1$, hitung $|{\phi }_a(z)|$.

Diketahui fungsi $f$ analitik di domain yang memuat cakram satuan $\{z:|z|\le 1\}$ dan $a\in D^0$ dengan $f(a)=a$. Definisikan fungsi $g$ yang analitik di domain yang memuat cakram satuan dengan sifat $g(0)=0$ dan $|g(z)|=|f(z)|$ jika $|z|=1$.

Diketahui $C$ adalah kurva di kuadran pertama dengan $|z|=2$ untuk setiap $z\in \mathbb{C}$ dari $z=2$ sampai dengan $z=2i$. Jika $\left|{\int }_C\frac{\mathrm{d}z}{z^2-1}\right|\le ML,$ tentukan nilai terkecil $M$ dan nilai $L$ jika $L$ menyatakan panjang kurva.

Hasil pemetaan lingkaran $L:|z-1|=1$ oleh $w=\frac{i}{z+2i}$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $F:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ analitik atau holomorfik. Kemudian untuk $a\in \mathbb{C}$ didefinisikan $f(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{F(z)-F(a)}{z-a}& z\ne a\\ A& z=a.\end{array}$

Tentukan nilai $A$ agar $f$ kontinu pada $\mathbb{C}$.

Diketahui $\gamma$ adalah lingkaran yang berpusat di 0 dan berjari-jari 2. Tentukan nilai dari ${\int }_{\gamma }\frac{\mathrm{d}z}{z^2(z^2+1)}$

Tentukan nilai maksimum dan minimum modulus $z^2-z$ pada cakram $|z|\le 1$.

Diketahui $p(z)=z^3-3z^2+4z-5$ dan $q(z)=z^2(1+q(z))$ dengan $q(0)\ne 1$. Tentukan nilai residu dari $f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$ di $z=0$.

Diketahui $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ entire (analitik pada seluruh bidang kompleks). Jika $u$ terbatas dan $v$ satu-satu tunjukkan bahwa untuk setiap $z_1\ne z_2\in \mathbb{C}$ berlaku $f(z_1)-f(z_2)\notin \mathbb{R}$

Misalkan $f$ fungsi entire dan $|f^{\prime }(z)|\le |z|$ untuk semua $z$. Perlihatkan bahwa $f(z)=a+b{z}^2$ dengan $|b|\le 1$.

Diketahui fungsi $f$ analitik pada cakram satuan $D$ dan $|f(z)|<1$ pada $D$. Jika $a$ dan $b$ adalah titik tetap di $D$ ($f(a)=a$ dan $f(b)=b$), gunakan lemma Schwarz untuk membuktikan $f(z)=z$.