Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2022 — Seleksi Wilayah

Faktorkan ruas kanan:

$|f(x)-f(y)|\le |x^2(x-y){|}^2=x^4|x-y{|}^2$

Untuk $x\ne y$, bagi kedua ruas dengan $|x-y|$:

$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le x^4|x-y|$

Ambil limit saat $y\to x$:

$|f^{\prime }(x)|={\lim }_{y\to x}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le {\lim }_{y\to x}{x}^4|x-y|=0$

Karena $|f^{\prime }(x)|\le 0$, haruslah $f^{\prime }(x)=0$ untuk seluruh $x\in \mathbb{R}$.

Akibatnya $f(x)$ adalah fungsi konstan. Karena diketahu $f(1)=1$, maka $f(x)=1$ untuk semua $x\in \mathbb{R}$.

Jadi, $f(2022)=1$.

Tulis $a_n$ sebagai Jumlah Riemann:

$a_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$

Ambil limit $n\to \infty$:

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\int }_0^1\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=[\ln (1+x){]}_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$

Hitung komposisi $\sigma \circ \tau$:

• $(\sigma \circ \tau )(1)=\sigma (\tau (1))=\sigma (5)=2$
• $(\sigma \circ \tau )(2)=\sigma (\tau (2))=\sigma (2)=4$
• $(\sigma \circ \tau )(3)=\sigma (\tau (3))=\sigma (1)=3$
• $(\sigma \circ \tau )(4)=\sigma (\tau (4))=\sigma (3)=1$
• $(\sigma \circ \tau )(5)=\sigma (\tau (5))=\sigma (4)=5$

Sehingga $\sigma \circ \tau =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 3& 1& 5\end{array}\right)$.

Inversnya $\alpha =(\sigma \circ \tau {)}^{-1}$ membalikkan peta:

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 1& 3& 2& 5\end{array}\right)$

Jadi baris kedua dari $\alpha$ adalah $41325$.

Di ring $R=\frac{{\mathbb{Z}}_8[x]}{⟨x^2-1⟩}$, elemen $y$ dapat ditulis sebagai $y=a+bx$ dengan $a,b\in {\mathbb{Z}}_8$ dan $x^2=1$.

$(7+5x)y=(7+5x)(a+bx)=7a+7bx+5ax+5b{x}^2=(7a+5b)+(5a+7b)x\equiv 0(\mathrm{mod}8)$

Diperoleh sistem pertidaksamaan modul 8:

1. $7a+5b\equiv 0⟹-a+5b\equiv 0⟹a\equiv 5b(\mathrm{mod}8)$.
2. $5a+7b\equiv 5(5b)+7b=32b\equiv 0(\mathrm{mod}8)$.

Nilai $b\in {\mathbb{Z}}_8$ yang memberikan $a=5b(\mathrm{mod}8)$:

• Jika $b=0⟹a=0⟹y=0$.
• Jika $b=4⟹a=20\equiv 4(\mathrm{mod}8)⟹y=4+4x$.

Maka elemen $y$ yang memenuhi adalah $0$ dan $4+4x$.

Hitung banyaknya bilangan tanpa digit 0 dari 1 hingga 2022:

• 1 digit: 9 bilangan ($1,2,\dots ,9$).
• 2 digit: $9\times 9=81$ bilangan.
• 3 digit: $9\times 9\times 9=729$ bilangan.
• 4 digit (1000 hingga 1999 tanpa digit 0): $1\times 9\times 9\times 9=729$ bilangan.
• 4 digit (2000 hingga 2022 tanpa digit 0): 0 bilangan.

Banyaknya bilangan tanpa digit 0 dari 1 hingga 2022 adalah $9+81+729+729=1548$.

Maka banyaknya bilangan di antara 1 dan 2022 yang memuat digit 0 adalah $2022-1548=474$.

1. Kemonotonan: Karena $x\ge 1$ dan $x^4+[f(x){]}^4>0$, maka $f^{\prime }(x)=\frac{x}{x^4+[f(x){]}^4}>0$. Artinya, $f(x)$ monoton naik secara ketat pada $[1,\infty )$.

2. Keterbatasan: Karena $[f(x){]}^4\ge 0$, berlaku $x^4+[f(x){]}^4\ge x^4$, sehingga:

   $f^{\prime }(x)=\frac{x}{x^4+[f(x){]}^4}\le \frac{x}{x^4}=\frac{1}{x^3}$

   Integralkan dari $1$ ke $x$:

   $f(x)-f(1)={\int }_1^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\le {\int }_1^x\frac{1}{t^3}\mathrm{d}t={\left[-\frac{1}{2t^2}\right]}_1^x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x^2}<\frac{1}{2}$

   $f(x)<1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}<1+\frac{\pi }{8}$

Karena $f(x)$ monoton naik dan terbatas di atas, berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ terbukti ada dan nilainya tidak melebihi $1+\frac{\pi }{8}$.

• Monoton Naik: $x_1=\sqrt{2}\approx 1.414$, $x_2=(\sqrt{2}{)}^{\sqrt{2}}\approx 1.63>x_1$. Dengan induksi matematika, jika $x_{n-1}<x_n⟹(\sqrt{2}{)}^{x_{n-1}}<(\sqrt{2}{)}^{x_n}⟹x_n<x_{n+1}$.

• Terbatas Atas (oleh 2): $x_1=\sqrt{2}<2$. Induksi: jika $x_n<2⟹x_{n+1}=(\sqrt{2}{)}^{x_n}<(\sqrt{2}{)}^2=2$.

Berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, $X$ konvergen ke suatu limit $L$.

Nilai Limit: Ambil limit $n\to \infty$ pada $x_n=(\sqrt{2}{)}^{x_{n-1}}$:

$L=(\sqrt{2}{)}^L⟹L=2^{L/2}⟹L^2=2^L⟹L=2.$

Jadi barisan $X$ konvergen dan ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=2$.

Sanggahan (Pernyataan SALAH untuk grup tak hingga):

Pandang grup aditif $G=(\mathbb{Z},+)$ dan homomorfisma $\varphi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ dengan $\varphi (n)=2n$.

1. Untuk setiap elemen non-nol $n\in \mathbb{Z}$, orde dari $n$ adalah tak hingga ($\infty$). Orde dari $\varphi (n)=2n$ juga tak hingga ($\infty$). Untuk $n=0$, Orde($0$) = Orde($\varphi (0)$) = 1. Sehingga untuk setiap $g\in \mathbb{Z}$, Orde($g$) = Orde($\varphi (g)$).

2. Namun $\varphi (n)=2n$ bukanlah isomorfisma karena tidak surjektif ($\text{Im}(\varphi )=2\mathbb{Z}\ne \mathbb{Z}$).

Dengan demikian, pernyataan tersebut disangkal (tidak selalu berlaku untuk grup umum).

Di $R=\frac{{\mathbb{Z}}_p[x]}{⟨x^2-x⟩}$, berlaku relasi $x^2=x$.

Setiap elemen $a\in R$ dapat ditulis sebagai $a=c_0+c_{1}x$ dengan $c_0,c_1\in {\mathbb{Z}}_p$.

Tinjau elemen di $S$:

$(1-x)a=(1-x)(c_0+c_{1}x)=c_0(1-x)+c_{1}x(1-x)=c_0(1-x)+c_1(x-x^2)=c_0(1-x)+0=c_0(1-x)$

Sehingga $S=\{c_0(1-x)\mid c_0\in {\mathbb{Z}}_p\}$.

Definisikan pemetaan $\varphi :{\mathbb{Z}}_p\to S$ dengan $\varphi (c)=c(1-x)$. Pemetaan $\varphi$ bijektif dan mengawetkan operasi ring:

$\varphi (c)\varphi (d)=(c(1-x))(d(1-x))=cd(1-x{)}^2=cd(1-2x+x^2)=cd(1-x)=\varphi (cd).$

Terbukti bahwa $S\cong {\mathbb{Z}}_p$.

Frekuensi kemunculan $(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5)$ dari 5 digit $\{3,4,5,6,7\}$ harus memenuhi $k_i\in \{2,3,4\}$ dan $\sum k_i=12$.

Terdapat 2 konfigurasi frekuensi yang memungkinkan:

1. Tipe (4, 2, 2, 2, 2): 1 digit muncul 4 kali, 4 digit lainnya muncul 2 kali.

   • Cara memilih digit yang muncul 4 kali: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=5$.
   • Banyaknya susunan: $\frac{12!}{4!2!2!2!2!}=\mathrm{1.247.400}$.
   • Total Tipe 1 = $5\times \mathrm{1.247.400}=\mathrm{6.237.000}$.

2. Tipe (3, 3, 2, 2, 2): 2 digit muncul 3 kali, 3 digit lainnya muncul 2 kali.

   • Cara memilih digit yang muncul 3 kali: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$.
   • Banyaknya susunan: $\frac{12!}{3!3!2!2!2!}=\mathrm{1.663.200}$.
   • Total Tipe 2 = $10\times \mathrm{1.663.200}=\mathrm{16.632.000}$.

Banyaknya susunan bilangan $n$ yang dapat dibentuk adalah $\mathrm{6.237.000}+\mathrm{16.632.000}=\mathrm{22.869.000}$.

Tulis persamaan sebagai $A(A-2I)=\left(\begin{array}{cc}3& 10\\ 0& 8\end{array}\right)$.

Ambil determinan kedua ruas:

$\det (A)\det (A-2I)=\det \left(\begin{array}{cc}3& 10\\ 0& 8\end{array}\right)=24$

Misalkan nilai eigen matriks $A$ adalah ${\lambda }_1,{\lambda }_2$. Persamaan nilai eigen memberikan:

${\lambda }_1^2-2{\lambda }_1=3⟹{\lambda }_1=3\text{ atau }-1$ ${\lambda }_2^2-2{\lambda }_2=8⟹{\lambda }_2=4\text{ atau }-2$

Karena diketahu $\det (A)={\lambda }_1{\lambda }_2>2$, pasangan yang memenuhi adalah ${\lambda }_1=3$ dan ${\lambda }_2=4$.

Maka $\det (A)=3\times 4=12$.

Perhatikan bahwa $T(2x-1)=3T(1)⟹T(2x-1-3)=0⟹T(2x-4)=0$.

Maka Kernel $T$ dibangun oleh $f_0(x)=x-2$.

Syarat $h(x)=ax+b$ tegak lurus terhadap $x-2$:

$⟨ax+b,x-2⟩={\int }_0^1(ax+b)(x-2)\mathrm{d}x=0$

${\int }_0^1(a{x}^2+(b-2a)x-2b)\mathrm{d}x=\frac{a}{3}+\frac{b-2a}{2}-2b=-\frac{2}{3}a-\frac{3}{2}b=0$

$\frac{2}{3}a=-\frac{3}{2}b⟹\frac{a}{b}=-\frac{9}{4}.$

Persamaan $z^{20}=22$ memiliki total 20 akar kompleks di lingkaran berjari-jari $\sqrt[20]{22}$.

Akar-akar yang merupakan bilangan real adalah $z=\sqrt[20]{22}$ dan $z=-\sqrt[20]{22}$ (2 buah akar real).

Maka banyaknya bilangan kompleks tak real yang memenuhi adalah $20-2=18$ buah.

Gunakan identitas trigonometri kompleks $\sin (A+iB)=\sin A\cosh B+i\cos A\sinh B$:

$z=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\cosh (1)+i\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\sinh (1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh (1)+i\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh (1)$

Maka $\text{Re}(z)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh (1)$ dan $\text{Im}(z)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh (1)$.

$\sqrt{2}(\text{Re}(z)+\text{Im}(z))=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh (1)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh (1)\right)=\cosh (1)+\sinh (1)=e^1=e.$

Papan $4\times 4$ terdiri dari 16 petak persegi satuan dan total $40$ sisi satuan.

Agar setiap petak memiliki paling sedikit 3 sisi merah, paling banyak 1 sisi dari tiap petak yang berwarna tidak-merah.

Memaksimalkan sisi tidak-merah yang tidak saling mengganggu pada 16 petak menghasilkan maksimal 16 sisi tidak-merah.

Banyaknya sisi satuan minimal yang harus diwarnai merah adalah $40-16=24$.

1. Determinan Matriks Koefisien:

   $\det (M)=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& a& 1\\ -b& 0& a\end{array}\right|=a^3-b$

   • Jika $b\ne a^3$, maka $\det (M)\ne 0$, matriks $M$ memiliki invers sehingga SPL selalu konsisten.

2. Kasus $b=a^3$: Gunakan eliminasi Gauss pada matriks tersambung $[M\mid \mathbf{b}]$:

   $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 0& 1\\ 0& a& 1& 2\\ -a^3& 0& a& -3\end{array}\right)& \stackrel{R_3+a^2{R}_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 0& 1\\ 0& a& 1& 2\\ 0& a^2& a& a^2-3\end{array}\right)\\ & \stackrel{R_3-a{R}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}a& 1& 0& 1\\ 0& a& 1& 2\\ 0& 0& 0& a^2-2a-3\end{array}\right)\end{array}$$

   SPL konsisten jika dan hanya jika $a^2-2a-3=0⟹(a-3)(a+1)=0⟹a=3$ atau $a=-1$.

   • Untuk $a=3⟹b=3^3=27$.
   • Untuk $a=-1⟹b=(-1{)}^3=-1$.

Kesimpulan: Pasangan $(a,b)$ yang memenuhi adalah seluruh $(a,b)$ dengan $b\ne a^3$, serta pasangan $(3,27)$ dan $(-1,-1)$.

Ingat bahwa $\text{tr}(AB)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ji}$.

Pindahkan seluruh suku ke satu ruas:

$\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(a_{ij}^2+b_{ij}^2)-{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{ji}=0$

$\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(a_{ij}^2-2a_{ij}{b}_{ji}+b_{ji}^2)=0⟹\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(a_{ij}-b_{ji}{)}^2=0$

Karena jumlah kuadrat bilangan real sama dengan 0, maka setiap suku haruslah nol:

$a_{ij}-b_{ji}=0⟹a_{ij}=b_{ji}(\forall i,j=1,\dots ,n)$

Terbukti bahwa $A=B^T⟺A^T=B$.

Karena $|a|=1⟹a\bar{a}=1⟹\frac{1}{a}=\bar{a}$. Sama halnya $\frac{1}{b}=\bar{b}$.

Substitusi ke $z$:

$z=(a+b)(\bar{a}+\bar{b})=(a+b)(\overline{a+b})=|a+b{|}^2$

Karena $z=|a+b{|}^2$, $z$ pasti merupakan bilangan real non-negatif ($z\ge 0$).

Berdasarkan ketaksamaan segitiga:

$|a+b|\le |a|+|b|=1+1=2⟹z=|a+b{|}^2\le 2^2=4.$

Terbukti bahwa $z$ merupakan bilangan real dan $0\le z\le 4$.

Gunakan definisi turunan kompleks di $z=0$:

$f^{\prime }(0)={\lim }_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}={\lim }_{z\to 0}\frac{{\bar{z}}^3/z^2}{z}={\lim }_{z\to 0}\frac{{\bar{z}}^3}{z^3}={\lim }_{z\to 0}{\left(\frac{\bar{z}}{z}\right)}^3$

Dekati titik $0$ dalam bentuk polar $z=r{e}^{i\theta }$ untuk $r\to 0$:

$\frac{\bar{z}}{z}=\frac{r{e}^{-i\theta }}{r{e}^{i\theta }}=e^{-2i\theta }⟹{\left(\frac{\bar{z}}{z}\right)}^3=e^{-6i\theta }$

Nilai limit tergantung pada sudut arah pendekatan $\theta$ (contoh: $\theta =0⟹1$, sedangkan $\theta =\pi /12⟹-i$).

Karena limitnya tidak tunggal, maka $f^{\prime }(0)$ tidak ada.

Kesimpulan: Fungsi $f$ tidak terdiferensialkan kompleks di titik 0.

Titik-titik terletak pada dua garis horizontal $y=1$ (15 titik) dan $y=4$ (15 titik).

Segitiga sama kaki dibentuk dengan 2 titik di satu garis dan 1 titik di garis lainnya:

1. 2 titik di $y=1$ dan 1 titik di $y=4$: Pasangan $(A_i,A_m)$ dengan titik puncak $B_k$ pada garis bagi tegak lurus $x=\frac{i+m}{2}$. Ini membutuhkan $i+m$ bernilai genap. Banyak pasang $(i,m)$ berparitas sama dari 15 titik adalah $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=28+21=49$.

2. 1 titik di $y=1$ dan 2 titik di $y=4$: Simetris, menghasilkan 49 segitiga.

Total banyaknya segitiga sama kaki yang dapat dibentuk adalah $49+49=98$.