Analisis Real 🌱 Seedling ⏳ Belum direview

Integral Riemann dan Jumlah Darboux

Partisi, Jumlah Darboux Atas dan Bawah, definisi pengintegralan Riemann, dan Kriteria Integrabilitas.

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026

🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Integral Riemann memberikan landasan formal untuk menghitung luas daerah di bawah kurva melalui proses limit dari penjumlahan daerah persegi panjang yang semakin halus.

1. Partisi & Jumlah Darboux

Misalkan $f : [a, b] \to R$ adalah fungsi terbatas.

Definisi (Partisi & Jumlah Darboux)

Partisi $P$ dari $[a, b]$ adalah himpunan berhingga $P = {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}}$ dengan $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ .

Untuk setiap sub-interval $[x_{i - 1}, x_{i}]$ , definisikan: $M_{i} = sup {f (x) : x \in [x_{i - 1}, x_{i}]} dan m_{i} = in f {f (x) : x \in [x_{i - 1}, x_{i}]}$

Jumlah Darboux Atas: $U (f, P) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} (x_{i} - x_{i - 1})$
Jumlah Darboux Bawah: $L (f, P) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} (x_{i} - x_{i - 1})$

2. Integrabilitas Riemann & Kriteria Cauchy Integrabilitas

Definisi (Integrabilitas Riemann)

Fungsi terbatas $f$ dikatakan terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ jika:

$in f {U (f, P) : P} = sup {L (f, P) : P}$

Nilai bersama tersebut dinamakan integral Riemann dari $f$ pada $[a, b]$ , dinotasikan $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Teorema (Kriteria Integrabilitas Cauchy)

Fungsi $f$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ jika dan hanya jika untuk setiap $ε > 0$ , terdapat partisi $P$ sedemikian sehingga:

$U (f, P) - L (f, P) < ε$

3. Contoh Pembuktian Integral Riemann

Contoh (Integral f(x) = x pada [0, 1])

Gunakan jumlah Darboux untuk menunjukkan bahwa $f (x) = x$ terintegralkan pada $[0, 1]$ dan hitung nilainya.

Penyelesaian:

Pilih partisi seragam $P_{n} = {0, 1/ n, 2/ n, \dots, n / n}$ . Panjang sub-interval $Δ x = 1/ n$ .
Pada sub-interval $[(i - 1) / n, i / n]$ , karena $f$ naik: $M_{i} = i / n$ dan $m_{i} = (i - 1) / n$ . $U (f, P_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}$ $L (f, P_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i - 1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2}} \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 n}$
Saat $n \to \infty$ , $lim U = lim L = 1/2$ . Disimpulkan $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ . $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Fungsi Kontinu Selalu Terintegralkan Riemann)

Buktikan bahwa jika $f : [a, b] \to R$ kontinu pada $[a, b]$ , maka $f$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Karena $[a, b]$ kompak, $f$ kontinu seragam pada $[a, b]$ .
Diberikan $ε > 0$ , pilih $δ > 0$ sehingga $∣ f (u) - f (v) ∣ < \frac{ε}{b - a}$ untuk $∣ u - v ∣ < δ$ .
Pilih partisi $P$ dengan ukuran sub-interval $< δ$ .
Maka $M_{i} - m_{i} < \frac{ε}{b - a}$ .
$U (f, P) - L (f, P) = \sum (M_{i} - m_{i}) Δ x_{i} < \frac{ε}{b - a} \sum Δ x_{i} = ε$ .
Berdasarkan Kriteria Integrabilitas Cauchy, $f$ terintegralkan Riemann. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Teorema Taylor & Suku Sisa
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Dasar Kalkulus (TDK I & II) →

🏆 Soal ONMIPA Terkait (29 Soal)

Bank Soal ONMIPA

Berikut adalah daftar soal ONMIPA-PT dari tahun-tahun sebelumnya yang menguji dan menerapkan konsep materi pada halaman ini:

1. Partisi & Jumlah Darboux

2. Integrabilitas Riemann & Kriteria Cauchy Integrabilitas

3. Contoh Pembuktian Integral Riemann

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (29 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (19)

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Teorema Dasar Kalkulus (TDK I & TDK II)

Teorema Taylor dan Suku Sisa

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2019 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2022 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2024 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab