Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Diberikan suatu barisan $(a_n)$ dan $(b_n)$ dengan $a_n=\log (n+\sqrt{4n+1})$ dan $b_n=\log ((n+1)\sqrt{n})$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Didefinisikan barisan $(c_n)$ dengan $c_n=a_n-b_n$, untuk setiap $n$, maka $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\dots$

Salah satu himpunan $A\subseteq \mathbb{R}$, dengan $A^{\circ }=\varnothing$ tetapi $\bar{A}=\mathbb{R}$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f$ bernilai real terdefinisi pada $[1,\infty )$ memenuhi $f(1)=1$ dan $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+(f(x){)}^2}$. Nilai $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$ adalah $\dots$

Diketahui $A=\left\{n+\frac{(-1{)}^n}{n}:n\in \mathbb{N}\right\}$. Nilai $\sup A$ dan $\inf A$ jika ada berturut-turut adalah $\dots$

Salah satu contoh fungsi kontinu $f:[1,4]\to \mathbb{R}$ dengan sifat setiap bilangan $K>0$ terdapat $x,y\in [1,4]$ dengan $|f(x)-f(y)|>K|x-y|$ adalah $\dots$

Diketahui $a<b$ dan fungsi $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ positif dan kontinu. Nilai $B$ agar $B\sqrt{{\int }_a^{b}f}\ge {\int }_a^b\sqrt{f}$ adalah $\dots$

Untuk nilai $n\to \infty ,$ jumlahan $\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{(-1{)}^k}{k{2}^k}}$ konvergen ke $\dots$

Salah satu contoh himpunan $A\subseteq \mathbb{R}$ dan barisan fungsi $(f_n)$ yang konvergen seragam pada $A$ tetapi $(f_n^2)$ tidak konvergen seragam pada $A$ adalah $\dots$

Diketahui $B\subseteq \mathbb{R}$, $B\ne \varnothing$, dan $B$ terbatas ke bawah. Didefinisikan $A=\{x\in \mathbb{R}:x\text{ merupakan batas bawah dari }B\}$. Buktikan $A\ne \varnothing$ dan terbatas ke atas serta $\sup A=\inf B$.

Diberikan fungsi kontinu $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ dan fungsi naik monoton $g:f[a,b]\to \mathbb{R}$. Tunjukkan terdapat $x^{\ast }\in [a,b]$ dengan $(g\circ f)(x^{\ast })=\sup \{g(y):y=f(x),x\in [a,b]\}$.

Tunjukkan pernyataan berikut: “Jika fungsi $f$ mempunyai derivatif di setiap $x\in [a,b]$ maka untuk setiap $\gamma$ di antara $f^{\prime }(a)$ dan $f^{\prime }(b)$ terdapat $c\in [a,b]$ dengan $f^{\prime }(c)=\gamma$.”