Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Misalkan himpunan $\displaystyle A = \left\{ \cos\frac{1}{n} + \left(-\frac{1}{n}\right)^n \mid n\in \mathbb{N}\right\}$. Jika ada, $\sup A$ adalah $\dots$

Beri contoh fungsi bernilai real $f$ yang diskontinu $\forall x\neq 0$ pada domainnya, tetapi $f$ terdiferensialkan di $x = 0$.

Jika barisan bilangan real $(x_n)$ konvergen ke $x\in\mathbb{R}$ maka untuk $n\to \infty,$ $\frac{x_1 + x_2 + x_3+\dots + x_n}{n}$ konvergen ke $\dots$

Diberikan fungsi-fungsi bernilai real $h$ dan $f$ dimana $f$ fungsi konveks. Syarat yang harus ditambahkan agar $f''(x)h(x) \ge 0,\forall x$, adalah $\dots$

Nilai $z$ yang memenuhi sehingga deret $1 + (z - z^2) + (z - z^2)^2+(z - z^2)^3\dots$ konvergen adalah $\dots$

Misalkan turunan dari fungsi-fungsi $f$ dan $g$ kontinu dan $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) =\lim_{x\to 0} g(x) = 0$. Jika $g'(x) \neq 0, \forall x$ dan $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$ maka $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \dots$

Diketahui fungsi $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ kontinu pada $[a,b]$ dan $c\in(a,b)$. Didefinisikan fungsi $g:[c,b]\to\mathbb{R}$ dengan $\displaystyle g(x) = \int_c^x f^2(t) \mathrm{d}t,\forall x\in[c,b]$. Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$, nilai $\delta > 0$ yang dapat diambil agar setiap $x,y\in[c,b]$ dengan $|x - y| < \delta$ berlaku $|g(x) - g(y)| < \varepsilon$ adalah $\dots$

Nilai $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \left(\frac{x^{n/2}}{e^x} - e^x\right)\mathrm{d}x$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kontinu dan $A\subseteq \mathbb{R}$. Hubungan $f(\overline{A})$ dan $\overline{f(A)}$ adalah $\dots$

Misalkan fungsi $f$ terintegralkan dan kontinu seragam pada $\mathbb{R}$. Jika $(f_n)$ barisan fungsi terintegralkan yang didefinisikan dengan $f_n(x) = f(x + 1/n),$ maka $\displaystyle \int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x = \dots$

Misalkan koefisien $a,b,$ dan $c$ pada persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ merupakan bilangan rasional $a\neq 0$. Buktikan bahwa jika $\alpha = r + s\sqrt 2$ merupakan akar persamaan tersebut dengan $r$ dan $s$ rasional, maka $\beta = r - s\sqrt2$ juga merupakan akar.

Diketahui barisan $(x_n)$ dengan $x_1 = 1, x_2 = 2$ dan $x_{n +2} = \sqrt{x_{n + 1}x_n}, n\in\mathbb{N}$. Buktikan bahwa:

(a) $1\le x_n\le 2$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$,

(b) $|x_{n + 2} - x_{n + 1}| \le \frac{2}{3}|x_{n + 1} - x_n|, n\in\mathbb{N}$,

(c) $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy.

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dengan sifat untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$ dan $c$ skalar berlaku $f(x +y) = f(x) + f(y)$ dan $f(cx) = cf(x)$. Jika $f$ kontinu di $0$, tunjukkan bahwa $f$ kontinu pada $\mathbb{R}$.