Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Kompleks

Tentukan nilai $5\text{Re}(z) + 7\text{Im}(z)$ jika $z = (3 - 3i)^{2010}$.

Tentukan nilai $\displaystyle \oint \frac{1}{z^3(z + 4)}\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lingkaran $|z + 5| = 3$.

Dengan menggunakan $\displaystyle \oint_C \frac{\mathrm{d}z}{z + 1}$ di mana $C$ lingkaran $|z| = 2$, hitunglah $\displaystyle \oint_C \frac{(x + 1)\mathrm{d}y - y \mathrm{d}x}{(x + 1)^2 + y^2}$.

Diketahui $f(z) = z^5 + 2z^3 - 3iz^2 + 2z - 1 + i$, hitung $\displaystyle \oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lingkaran yang melingkupi semua akar $f(z)$.

Misalkan $(a_n)$ barisan bilangan kompleks dengan $\sum |a_n| < \infty$ dan $\sum n|a_n| = \infty$. Tentukan jari-jari konvergensi deret $\sum a_n 2^n z^n$.

Misalkan $f$ fungsi analitik di $z_0 \in\Omega$ dengan $f'(z_0) \neq 0$. Jika $C$ adalah lingkaran yang cukup kecil yang melingkari $z_0$, hitunglah:

(a) $\displaystyle \oint_C \frac{f(z) - f(z_0)}{(z - z_0)^2}\mathrm{d}z,$

(b) $\displaystyle \oint_C \frac{1}{f(z) - f(z_0)}\mathrm{d}z.$

Tentukan peta himpunan $A = \{z\in\mathbb{C} : 1 < |z| < 3, 0 < \arg(z) < \frac{\pi}{6}\}$ oleh pemetaan $f(z) = -iz^3$.