Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Aljabar Linear

Jika $a,b,c$ adalah bilangan real yang memenuhi $a(1,0,2) + b(0,2,1) + c(2,-2,3) = (x,y,z)$, maka $a + b + 2c = \dots$

Jika $K$ dan $L$ dua subruang dari $\mathbb{R}^{10}$ dan $\dim(K) + \dim(L) = 12,$ maka nilai terkecil yang mungkin untuk $\dim(K\cap L)$ adalah $\dots$

Diberikan basis $S = \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}$ bagi $\mathbb{R}^3$ dan vektor $\mathbf{u} = (1,2,1)$ di $\mathbb{R}^3$. Koordinat $\mathbf{u}$ terhadap basis $S$ adalah $\dots$

Misalkan $A = \begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \\0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{bmatrix}$. Salah satu matriks real tak singular $P$ yang membuat $P^{-1}AP$ matriks diagonal adalah $\dots$

Misalkan $A =[a_{ij}]$ matriks berukuran $2010\times 2010$, dengan $a_{ij} = \begin{cases}i &\text{untuk } i + j = 2010\\0,&\text{untuk } i + j \neq 2010\end{cases}$ maka $\det(A) = \dots$

Misalkan $J : P_1\to\mathbb{R}$ adalah transformasi pengintegralan $J(p) = \int_{-1}^1 p(x)\,\mathrm{d}x$ maka $\ker(J) = \dots$

Diketahui matriks $A =\begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 7\end{bmatrix}$ dan $E = \begin{bmatrix} 1 & - 4\\ 0 & 1\end{bmatrix}$. Sedangkan $F$ dan $G$ adalah matriks dasar (elementer) sehingga $A^{-1} = EFG,$ maka $F - G = \dots$

Untuk polinom-polinom $p = p(x)$ dan $q = q(x)$ di $P_2$, didefinisikan $\langle p,q\rangle = p(0)q(a) + p(\frac{1}{2})q(b) + p(1)q(c).$ Untuk $a,b$ dan $c$ tertentu, $\langle \dots \rangle$ merupakan hasil kali dalam pada $P_2$ dengan norma yang berasal dari hasil kali dalam tersebut, $\|4x^2 - 1\| = \dots$

Misalkan $T_1 : \mathbb{R}^{3\times 3}\to \mathbb{R}^{3\times 3}$ adalah transformasi linear dengan $T_2(A) = A^T$. Jika $A = \begin{bmatrix}a & b& c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{bmatrix}$ dan $(T_1\circ T_2)(A) = T_1(A)$, maka $T_1(A) = \dots$

Misalkan $A \in\mathbb{R}^{n\times n}$. Jika kolom kedua matriks $A$ merupakan kelipatan $k$ dari kolom keempat, maka salah satu pasangan karakteristik (pasangan eigen) untuk matriks $A$ adalah $\dots$

Misalkan $D$ menyatakan operator diferensial pada $P_n$. Untuk $k = 2,3,\dots, n$, tuliskan $D^k = D\circ D\circ D\circ\dots\circ D,$ yaitu komposisi $k$ buah $D$. Didefinisikan operator $T = I + D +D^2+ \dots + D^n$ pada $P_n$.

(a) Tunjukkan bahwa $X = \{1\}\cup\{x^k - kx^{k - 1}\mid k = 1,2,3,\dots, n\}$ adalah basis bagi $P_n$.

(b) Periksa apakah $T$ pada. Berikan bukti jawaban Anda.

Misalkan $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Untuk $i = 1,2,\dots, n, A_i$ adalah matriks berukuran $(n - 1)\times(n - 1)$ yang diperoleh dari matriks $A$ dengan menghilangkan baris dan kolom ke-$i$. Misalkan juga $p(t)$ dan $p_i(t)$ berturut-turut adalah polinom-polinom karakteristik matriks $A$ dan $A_i$. Tentukan hubungan linear antara $\dfrac{\mathrm{d}p(t)}{\mathrm{d}t}$ dan $p_i(t)$ untuk $i =1,2,\dots, n$.

Pandang $\mathbb{R}^2$ dengan hasil kali dalam standar (baku). Misalkan $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ memenuhi $\langle Av, Aw\rangle = \langle v,w\rangle$ untuk semua $v,w\in\mathbb{R}^2.$ Buktikan bahwa $A$ tak singular dan bahwa $A^{-1} = A^{T}$.