Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Diberikan $D\subseteq \mathbb{R}$ dan fungsi $f,g:D\to \mathbb{R}$ dengan $f(x)\le g(x)$, untuk setiap $x\in D$. Beri contoh $D$, fungsi $f$ dan $g$ sehingga tidak benar bahwa $\sup \{f(x):x\in D\}\le \inf \{g(x):x\in D\}.$

Diketahui $(a_n)$ barisan bilangan real dengan $a_1>0$ dan $a_{n+1}=\frac{1}{2+a_n}$ untuk setiap $n\ge 2$, ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\dots$

Diketahui fungsi $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ terdiferensial hingga tingkat berapapun di $c\in (a,b)$. Nilai ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(c+h)-2f(c)+f(c-h)}{h^2}=\dots$

Contoh fungsi $f$ yang memenuhi $|f(x)-f(y)|\le (x-y{)}^2,$ untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}$, adalah $\dots$

Fungsi $G$ didefinisikan dengan $G(x)={\int }_0^{\sin x}\cos t\mathrm{d}t$ maka $G^{\prime }(x)=\dots$

Osilasi fungsi $f$ di titik $x$ dinyatakan dengan ${\omega }_{f(x)}.$ Diketahui $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dan $r>0$. Diberikan himpunan $E=\{x\in \mathbb{R}\mid {\omega }_{f(x)}\ge r\}$, closure dari $E$ adalah $\dots$

Untuk nilai $n\to \infty$, jumlahan ${\sum }_{k=1}^n\sqrt{\frac{1}{n^2+k^2}}$ konvergen ke $\dots$

Bilangan real terkecil $c$ sehingga untuk setiap $x>0$ berlaku $\ln (1001+1011e^x)<c+x$ adalah $\dots$

Diketahui $A\in \mathbb{R},x\in A$, dan $y\in A^c$. Gunakan definisi himpunan terbuka untuk menunjukkan himpunan $E=\{t\in \mathbb{R}:y+t(x-y)\in A\}$ terbuka.

Diketahui fungsi $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ kontinu untuk setiap $n\in \mathbb{N},$ dan $f_1\ge f_2\ge f_3\ge \dots$. Jika $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=0$ untuk setiap $x\in [0,1]$, buktikan bahwa barisan $(f_n)$ konvergen seragam ke fungsi nol pada $[0,1]$.

Misalkan $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ adalah fungsi yang turunan tingkat duanya ada dan $f^{\prime \prime }(x)<0$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$. Buktikan bahwa bangun dibentuk dari titik-titik $(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),$ dan $(4,f(4))$ bukan jajaran genjang.