Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

Teorema pertukaran limit menetapkan kondisi presisi di mana sifat-sifat analitik (kekontinuan, keterintegralan, turunan) dari suku-suku barisan dan deret fungsi $(f_n)$ diwariskan secara utuh kepada fungsi limit $f$ .

1. Teorema Pertukaran Limit

Teorema (Teorema 6.3.1 (Pelestarian Kekontinuan))

Misalkan $(f_n)$ adalah barisan fungsi kontinu pada $A \subseteq \mathbb{R}$ yang konvergen seragam ke $f$ pada $A$ . Maka $f$ kontinu pada $A$ .

Penerapan Kontraposisi: Jika setiap $f_n$ kontinu namun fungsi limit $f$ diskontinu, maka konvergensi tersebut tidak seragam.

Teorema (Teorema 6.3.2 (Pertukaran Limit dan Integral))

Misalkan $f_n$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ . Jika $(f_n)$ konvergen seragam ke $f$ pada $[a, b]$ , maka $f$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ dan berlaku:

$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) dx = \int_a^b f(x) \, dx$

Teorema (Teorema 6.3.3 (Pertukaran Limit dan Turunan))

Misalkan $(f_n)$ terdiferensialkan pada $[a, b]$ sedemikian sehingga:

Terdapat setidaknya satu titik $x_0 \in [a, b]$ sehingga $(f_n(x_0))$ konvergen.
Barisan turunan $(f'_n)$ konvergen seragam ke suatu fungsi $g$ pada $[a, b]$ .

Maka $(f_n)$ konvergen seragam ke suatu fungsi $f$ pada $[a, b]$ , di mana $f$ terdiferensialkan dan:

$f'(x) = g(x) = \lim_{n \to \infty} f'_n(x)$

2. Contoh Kegagalan Pertukaran Turunan Tanpa Konvergensi Seragam

Contoh (Kegagalan Pertukaran Turunan)

Misalkan $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ . Tunjukkan bahwa $\lim f_n(x) = 0$ , tetapi $\lim f'_n(x)$ tidak selalu sama dengan turunan dari fungsi limitnya.

Penyelesaian:

Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ , $|f_n(x)| \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ , sehingga $(f_n)$ konvergen seragam ke $f(x) = 0$ . Turunan fungsi limitnya adalah $f'(x) = 0$ .
Namun turunan tiap suku adalah $f'_n(x) = \sqrt{n} \cos(nx)$ .
Evaluasi di $x = 0$ : $\lim_{n \to \infty} f'_n(0) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty$ .
Jadi $\lim_{n \to \infty} f'_n(x) \neq f'(x)$ . Hal ini terjadi karena barisan turunan $(f'_n)$ tidak konvergen seragam. $\blacksquare$

3. Deret Fungsi & Uji M-Weierstrass

Definisi (Konvergensi Seragam Deret Fungsi)

Deret fungsi $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ dikatakan konvergen seragam ke $f(x)$ pada $A$ jika barisan jumlah parsialnya $S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x)$ konvergen seragam ke $f$ pada $A$ .

Teorema (Teorema 6.4.2 (Uji M-Weierstrass))

Misalkan $(f_n)$ adalah barisan fungsi pada $A$ dan terdapat barisan konstanta positif $(M_n)$ sedemikian sehingga:

$|f_n(x)| \leq M_n$ untuk setiap $x \in A$ dan $n \in \mathbb{N}$ .
Deret angka $\sum_{n=1}^\infty M_n$ konvergen.

Maka deret fungsi $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ konvergen mutlak dan seragam pada $A$ .

Sifat-Sifat Deret Fungsi Terintegrasi & Terdiferensialisasi

Jika $\sum f_n$ konvergen seragam ke $f$ pada $[a, b]$ :

Jika setiap $f_n$ kontinu, maka $f$ kontinu.
Integrasi Suku-demi-Suku: $\int_a^b \left( \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x) \, dx$ .
Diferensiasi Suku-demi-Suku: Jika $f'_n$ kontinu dan $\sum f'_n$ konvergen seragam, maka $\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \right) = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)$ .

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Uji M-Weierstrass Deret Cosinus)

Buktikan bahwa deret fungsi $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}$ kontinu pada $\mathbb{R}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ , $\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$ .
Pilih $M_n = \frac{1}{n^2}$ . Deret $p$ dengan $p=2 > 1$ yaitu $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergen.
Berdasarkan Uji M-Weierstrass, deret konvergen seragam pada $\mathbb{R}$ .
Karena setiap suku $f_n(x) = \frac{\cos(nx)}{n^2}$ kontinu, berdasarkan Teorema Pelestarian Kekontinuan, fungsi jumlah $f(x)$ kontinu pada $\mathbb{R}$ . $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 2 (Integrasi Suku-demi-Suku dan Deret Logaritma)

Gunakan integrasi suku-demi-suku pada deret geometri untuk menunjukkan bahwa untuk $|x| < 1$ :

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk $|t| < 1$ , deret geometri $\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^\infty t^n = 1 + t + t^2 + \dots$ konvergen seragam pada setiap $[-K, K]$ dengan $0 < K < 1$ .
Integralkan suku-demi-suku dari $0$ sampai $x$ : $\int_0^x \frac{1}{1-t} \, dt = \sum_{n=0}^\infty \int_0^x t^n \, dt$
Ruas kiri: $\left[ -\ln(1-t) \right]_0^x = -\ln(1-x)$ .
Ruas kanan: $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m}$ .
Diperoleh $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ untuk $|x| < 1$ . $\blacksquare$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Konvergensi Seragam Barisan & Deret Fungsi
Sub-Topik Selanjutnya: Deret Kuasa (Power Series) →

Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

1. Teorema Pertukaran Limit

2. Contoh Kegagalan Pertukaran Turunan Tanpa Konvergensi Seragam

3. Deret Fungsi & Uji M-Weierstrass

Sifat-Sifat Deret Fungsi Terintegrasi & Terdiferensialisasi

Latihan Soal Interaktif

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (4)

Deret Kuasa (Power Series) dan Radius Konvergensi

Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Fungsi

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Pengantar Ruang Metrik dan Topologi General

Title