🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Real

Deret Kuasa (Power Series) dan Radius Konvergensi

Definisi deret kuasa, Uji Rasio dan Uji Akar untuk Radius Konvergensi, interval konvergensi, serta diferensiasi dan integrasi suku-demi-suku.

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Deret kuasa adalah deret fungsi yang memiliki bentuk umum yang sangat penting dalam analisis real dan terapan:

∑n=0∞an(x−c)n=a0+a1(x−c)+a2(x−c)2+…\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \dots

di mana ana_n adalah koefisien barisan bilangan real dan c∈Rc \in \mathbb{R} adalah pusat deret.

1. Definisi & Radius Konvergensi

Teorema (Teorema Radius Konvergensi)
#

Untuk setiap deret kuasa ∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n, terdapat nilai R∈[0,∞)∪{∞}R \in [0, \infty) \cup \{\infty\}, yang disebut radius konvergensi, sedemikian sehingga:

  1. Deret konvergen mutlak jika ∣x−c∣<R|x - c| < R.
  2. Deret divergen jika ∣x−c∣>R|x - c| > R.
  3. Jika ∣x−c∣=R|x - c| = R, deret dapat konvergen atau divergen (harus diuji pada masing-masing titik ujung interval x=c−Rx = c - R dan x=c+Rx = c + R).

Cara Menghitung Radius Konvergensi RR

Nilai RR dapat ditentukan menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar:

1R=lim⁡n→∞∣an+1an∣atau1R=lim sup⁡n→∞∣an∣n\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \quad \text{atau} \quad \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

2. Sifat-Sifat Analitik Deret Kuasa

Teorema (Teorema Sifat-Sifat Deret Kuasa)
#

Misalkan deret kuasa f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - c)^n memiliki radius konvergensi R>0R > 0. Maka:

  1. Konvergensi Seragam: Deret konvergen seragam pada setiap interval tertutup [c−K,c+K][c - K, c + K] di mana 0<K<R0 < K < R.
  2. Kontinuitas: Fungsi f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - c)^n kontinu pada interval terbuka (c−R,c+R)(c - R, c + R).
  3. Diferensiasi Suku-demi-Suku: Deret dapat diturunkan suku-demi-suku di dalam interval konvergensinya dengan radius konvergensi RR yang sama: f′(x)=∑n=1∞nan(x−c)n−1(∀x∈(c−R,c+R))f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n (x - c)^{n-1} \quad (\forall x \in (c-R, c+R))
  4. Integrasi Suku-demi-Suku: Deret dapat diintegralkan suku-demi-suku di dalam interval konvergensinya: ∫cxf(t) dt=∑n=0∞ann+1(x−c)n+1(∀x∈(c−R,c+R))\int_{c}^x f(t) \, dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} (x - c)^{n+1} \quad (\forall x \in (c-R, c+R))

3. Contoh Pembuktian Interval Konvergensi

Contoh (Uji Konvergensi Deret Kuasa (x-3)^n / n)
#

Tentukan radius dan interval konvergensi dari deret kuasa:

∑n=1∞(x−3)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n}

Penyelesaian:

  1. Koefisien an=1na_n = \frac{1}{n}, pusat deret c=3c = 3.
  2. Hitung limit rasio koefisien: L=lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞nn+1=1L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1
  3. Maka radius konvergensi R=1L=1R = \frac{1}{L} = 1. Deret konvergen mutlak untuk ∣x−3∣<1  ⟺  2<x<4|x - 3| < 1 \iff 2 < x < 4.
  4. Uji Titik Ujung:
    • Untuk x=4x = 4: ∑n=1∞(4−3)nn=∑n=1∞1n\sum_{n=1}^\infty \frac{(4-3)^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} (Deret Harmonik, Divergen).
    • Untuk x=2x = 2: ∑n=1∞(2−3)nn=∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^\infty \frac{(2-3)^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} (Deret Berganti Tanda Leibniz, Konvergen).
  5. Disimpulkan interval konvergensinya adalah [2,4)[2, 4). ■\blacksquare

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Radius Konvergensi Deret Eksponensial x^n / n!)

Cari radius konvergensi dari deret kuasa ∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Suku an=1n!a_n = \frac{1}{n!}.
  • Hitung L=lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞n!(n+1)!=lim⁡n→∞1n+1=0L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0.
  • Karena L=0L = 0, maka R=10=∞R = \frac{1}{0} = \infty.
  • Deret konvergen mutlak dan seragam pada seluruh garis bilangan real R\mathbb{R}. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 2 (Radius Konvergensi Turunan Deret Kuasa)

Misalkan f(x)=∑n=0∞anxnf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n memiliki radius konvergensi RR. Berapakah radius konvergensi dari deret turunannya ∑n=1∞nanxn−1\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Suku deret turunan bn=(n+1)an+1b_n = (n+1) a_{n+1}.
  • Hitung limit rasio: L′=lim⁡n→∞∣(n+2)an+2(n+1)an+1∣=lim⁡n→∞n+2n+1⋅lim⁡n→∞∣an+2an+1∣=1⋅L=LL' = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+2)a_{n+2}}{(n+1)a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \right| = 1 \cdot L = L
  • Karena L′=LL' = L, maka R′=1L′=1L=RR' = \frac{1}{L'} = \frac{1}{L} = R.
  • Berdasarkan Teorema Sifat Deret Kuasa, diferensiasi suku-demi-suku tidak mengubah radius konvergensi RR. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 3 (Deret Kuasa 1 / (1 + x^2))

Gunakan deret kuasa geometris untuk menyatakan fungsi f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2} dan tentukan interval konvergensinya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Menggunakan deret geometri 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^\infty t^n untuk ∣t∣<1|t| < 1.
  • Substitusi t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n=∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+…\frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots
  • Syarat konvergensi: ∣−x2∣<1  ⟺  x2<1  ⟺  ∣x∣<1|-x^2| < 1 \iff x^2 < 1 \iff |x| < 1.
  • Pada titik ujung x=±1x = \pm 1, suku-suku (−1)n(±1)2n=(−1)n(-1)^n (\pm 1)^{2n} = (-1)^n tidak menuju 00, sehingga divergen di titik ujung.
  • Interval konvergensinya adalah (−1,1)(-1, 1). ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 4 (Teorema Abel Konvergensi Seragam di Titik Ujung)

Buktikan bahwa jika ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\infty a_n x^n konvergen di titik x=Rx = R, maka deret tersebut konvergen seragam pada [0,R][0, R] (Teorema Abel).

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Tanpa mengurangi keumuman, misalkan R=1R = 1 dan ∑an\sum a_n konvergen ke SS.
  • Tulis sisa jumlah parsial An=∑k=n∞ak→0A_n = \sum_{k=n}^\infty a_k \to 0.
  • Menggunakan Penjumlahan Abel (Summation by Parts) untuk x∈[0,1]x \in [0, 1]: ∑k=nmakxk=∑k=nm(Ak−Ak+1)xk=Anxn−Am+1xm+∑k=n+1mAk(xk−xk−1)\sum_{k=n}^m a_k x^k = \sum_{k=n}^m (A_k - A_{k+1}) x^k = A_n x^n - A_{m+1} x^m + \sum_{k=n+1}^m A_k (x^k - x^{k-1})
  • Karena x∈[0,1]x \in [0, 1], (xk−1−xk)≥0(x^{k-1} - x^k) \geq 0 dan ∑k=n+1m(xk−1−xk)=xn−xm≤1\sum_{k=n+1}^m (x^{k-1} - x^k) = x^n - x^m \leq 1.
  • Untuk ε>0\varepsilon > 0, pilih NN sehingga ∣Ak∣<ε|A_k| < \varepsilon untuk k≥Nk \geq N.
  • Diperoleh ∣∑k=nmakxk∣≤εxn+εxm+ε(xn−xm)≤2ε\left| \sum_{k=n}^m a_k x^k \right| \leq \varepsilon x^n + \varepsilon x^m + \varepsilon (x^n - x^m) \leq 2\varepsilon secara seragam untuk semua x∈[0,1]x \in [0, 1].
  • Berdasarkan Kriteria Cauchy Konvergensi Seragam, deret konvergen seragam pada [0,R][0, R]. ■\blacksquare
🔗

Materi Terkait (Linked References) (2)

Analisis Real Bab 7

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Kumpulan lengkap 20 soal isian singkat dan 10 soal essay pembuktian analisis real tingkat ONMIPA PT beserta pembahasan terstruktur.

Analisis Real Bab 6

Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

Teorema pertukaran limit dengan kekontinuan, integral, dan turunan; Uji M-Weierstrass; serta integrasi dan diferensiasi suku-demi-suku.