Pengantar Ruang Metrik dan Topologi General

Ruang metrik menggeneralisasikan konsep jarak dari garis bilangan real $R$ ke ruang abstrak sebarang (seperti ruang Euclid $R^{n}$ , ruang fungsi kontinu $C [a, b]$ , atau himpunan abstrak).

1. Definisi Ruang Metrik & Aksioma Jarak

Definisi (Ruang Metrik (Metric Space))

Misalkan $X$ adalah himpunan tak kosong. Fungsi jarak $d : X \times X \to R$ disebut metrik pada $X$ jika memenuhi empat aksioma berikut untuk setiap $x, y, z \in X$ :

Non-negativitas: $d (x, y) \geq 0$
Identitas Indiscernibles: $d (x, y) = 0 ⟺ x = y$
Simetri: $d (x, y) = d (y, x)$
Ketaksamaan Segitiga: $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$

Pasangan $(X, d)$ disebut sebagai Ruang Metrik.

2. Bola Terbuka & Bola Tertutup

Definisi (Bola Terbuka & Bola Tertutup)

Untuk $x \in X$ dan radius $r > 0$ :

Bola Terbuka: $B_{r} (x) = {y \in X : d (x, y) < r}$
Bola Tertutup: $\overset{ˉ}{B}_{r} (x) = {y \in X : d (x, y) \leq r}$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Metrik Diskrit)

Misalkan $X$ adalah himpunan tak kosong. Definisikan fungsi $d : X \times X \to R$ oleh:

$d (x, y) = {0, 1, jika x = y jika x \neq = y$

Buktikan bahwa $d$ adalah metrik pada $X$ (Metrik Diskrit).

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Non-negativitas: $d (x, y)$ bernilai $0$ atau $1$ , selalu $\geq 0$ .
$d (x, y) = 0 ⟺ x = y$ secara definisi.
Simetri: Jika $x = y$ , $d (x, y) = d (y, x) = 0$ . Jika $x \neq = y$ , $y \neq = x ⟹ d (x, y) = d (y, x) = 1$ .
Ketaksamaan Segitiga $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ :
- Jika $x = z$ , $d (x, z) = 0 \leq d (x, y) + d (y, z)$ (berlaku).
- Jika $x \neq = z$ , $d (x, z) = 1$ . Karena $x$ dan $z$ berbeda, $y$ tidak mungkin sama dengan $x$ dan $z$ sekaligus, sehingga salah satu dari $d (x, y)$ atau $d (y, z)$ bernilai $1$ , maka $d (x, y) + d (y, z) \geq 1$ . Terbukti $d$ adalah metrik pada $X$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Uji M-Weierstrass & Sifat Analitik Deret

Pengantar Ruang Metrik dan Topologi General

1. Definisi Ruang Metrik & Aksioma Jarak

2. Bola Terbuka & Bola Tertutup

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Deret Kuasa (Power Series) dan Radius Konvergensi

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Diskusi & Tanya Jawab

Title