Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Jika $S=\left\{\frac{n}{2m}+\frac{6m}{n}:n,m\in \mathbb{N}\right\}$, maka $\inf (S)=\dots$ dan $\sup (S)=\dots$

Misalkan $a_i>0,\forall i=1,2,3,\dots ,2016$. Jika $(a_1{a}_2\dots a_{2016}{)}^{\frac{1}{2016}}=2$, maka $(1+a_1)(1+a_2)\dots (1+a_{2016})\ge \dots$

Jika barisan bilangan real $(x_n)$ memenuhi sifat $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{2n}+x_{2n+1})=315$ dan $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{2n}+x_{2n-1})=2016$, maka $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{2n}}{x_{2n+1}}=\dots$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{8k^2}{k^4+1}=\dots$

Untuk setiap $n\in \mathbb{N}$, $f_n(x)=nx(1-x^2{)}^n,$ untuk setiap $x,0\le x\le 1,$ dan $a_n={\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x.$ Jika $s_n=\sin (\pi a_n),$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$, maka $\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\dots$

Jika $E=\{f\mid f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ fungsi kontinu dengan }f(x)\in \mathbb{Q},\forall x\in \mathbb{R}\}$, maka $E=\dots$

Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ dengan $f(x)=4x$ untuk bilangan rasional $x$, dan $f(x)=x+6$ untuk bilangan irasional $x$. Jika $E=\{x\in \mathbb{R}:f\text{ kontinu di }x\}$ maka himpunan semua titik limit $E$ adalah $\dots$

Diketahui $a<\frac{\pi }{2}$. Jika $M<1$ dengan $|\cos x-\cos y|\le M|x-y|,$ untuk setiap $x,y\in [0,a],$ maka $M=\dots$

Diketahui himpunan $E\subseteq \mathbb{R}$. Didefinisikan fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dengan $f(x)=\inf \{|x-y|:y\in E\}$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$. Buktikan bahwa fungsi $f$ kontinu pada $\mathbb{R}$.

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ terdiferensial hingga tingkat 2. Jika terdapat bilangan positif $A$ dan $B$ dengan sifat $|f(x)|\le A$ dan $|f^{\prime \prime }(x)|\le B$ untuk setiap $x\in \mathbb{R},$ buktikan bahwa $|f^{\prime }(0)|\le 2\sqrt{AB}.$

Diketahui fungsi $f$ kontinu pada $[0,1]$. Didefinisikan $f_0=f$ pada $[0,1]$ dan untuk setiap $n\in \mathbb{N}$, $f_{n+1}(x)={\int }_0^x{f}_n(t)\mathrm{d}t\text{untuk setiap }x\in [0,1].$

Buktikan bahwa barisan fungsi $(f_n)$ konvergen seragam pada $[0,1]$ ke fungsi nol.