Teorema Taylor dan Suku Sisa

Teorema Taylor menyediakan metode untuk menyatakan fungsi diferensiabel sebagai jumlah dari polinomial derajat $n$ dan sebuah suku sisa (remainder) yang merepresentasikan galat aproksimasi.

1. Polinomial Taylor & Bentuk Lagrange

Teorema (Teorema Taylor)

Misalkan $n \in N$ , $I = [a, b]$ , dan $f : I \to R$ sedemikian sehingga $f, f^{'}, f^{''}, \dots, f^{(n)}$ kontinu pada $I$ , serta $f^{(n + 1)}$ ada pada $(a, b)$ .

Untuk setiap $x, x_{0} \in I$ , terdapat titik $c$ di antara $x$ dan $x_{0}$ sedemikian sehingga:

$f (x) = P_{n} (x) + R_{n} (x)$

di mana $P_{n} (x)$ adalah Polinomial Taylor:

$P_{n} (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$

dan $R_{n} (x)$ adalah Suku Sisa Lagrange:

$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Aproksimasi Nilai e^x dan Batas Galat)

Gunakan Polinomial Taylor derajat $n = 2$ di $x_{0} = 0$ untuk mengaproksimasi $e^{0.1}$ dan berikan batas atas galatnya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk $f (x) = e^{x}$ , maka $f^{(k)} (0) = e^{0} = 1$ untuk semua $k$ .
Polinomial Taylor $P_{2} (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ .
Substitusi $x = 0.1$ : $P_{2} (0.1) = 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} = 1 + 0.1 + 0.005 = 1.005$
Galat Lagrange $R_{2} (0.1) = \frac{e ^{c}}{3 !} (0.1)^{3}$ untuk suatu $c \in (0, 0.1)$ .
Karena $c < 0.1 < 1$ , maka $e^{c} < e^{1} < 3$ . $∣ R_{2} (0.1) ∣ < \frac{3}{6} (0.001) = 0.0005$
Nilai hampiran $e^{0.1} \approx 1.005$ dengan galat $< 0.0005$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Turunan & Teorema Nilai Rataan (MVT)
Sub-Topik Selanjutnya: Integral Riemann & Jumlah Darboux (Bab 5) →

1. Polinomial Taylor & Bentuk Lagrange

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (4)

Integral Riemann dan Jumlah Darboux

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Turunan dan Teorema Nilai Rataan (MVT)

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Diskusi & Tanya Jawab

Title