Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Misalkan himpunan $A=\left\{\cos \frac{1}{n}+{\left(-\frac{1}{n}\right)}^n\mid n\in \mathbb{N}\right\}$. Jika ada, $\sup A$ adalah $\dots$

Beri contoh fungsi bernilai real $f$ yang diskontinu $\forall x\ne 0$ pada domainnya, tetapi $f$ terdiferensialkan di $x=0$.

Jika barisan bilangan real $(x_n)$ konvergen ke $x\in \mathbb{R}$ maka untuk $n\to \infty ,$ $\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$ konvergen ke $\dots$

Diberikan fungsi-fungsi bernilai real $h$ dan $f$ dimana $f$ fungsi konveks. Syarat yang harus ditambahkan agar $f^{\prime \prime }(x)h(x)\ge 0,\forall x$, adalah $\dots$

Nilai $z$ yang memenuhi sehingga deret $1+(z-z^2)+(z-z^2{)}^2+(z-z^2{)}^3\dots$ konvergen adalah $\dots$

Misalkan turunan dari fungsi-fungsi $f$ dan $g$ kontinu dan $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=0$. Jika $g^{\prime }(x)\ne 0,\forall x$ dan $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L,$ maka $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\dots$

Diketahui fungsi $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ kontinu pada $[a,b]$ dan $c\in (a,b)$. Didefinisikan fungsi $g:[c,b]\to \mathbb{R}$ dengan $g(x)={\int }_c^x{f}^2(t)\mathrm{d}t,\forall x\in [c,b]$. Diberikan sebarang $\epsilon >0$, nilai $\delta >0$ yang dapat diambil agar setiap $x,y\in [c,b]$ dengan $|x-y|<\delta$ berlaku $|g(x)-g(y)|<\epsilon$ adalah $\dots$

Nilai $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\left(\frac{x^{n/2}}{e^x}-e^x\right)\mathrm{d}x$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kontinu dan $A\subseteq \mathbb{R}$. Hubungan $f(\overline{A})$ dan $\overline{f(A)}$ adalah $\dots$

Misalkan fungsi $f$ terintegralkan dan kontinu seragam pada $\mathbb{R}$. Jika $(f_n)$ barisan fungsi terintegralkan yang didefinisikan dengan $f_n(x)=f(x+1/n),$ maka ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\dots$

Misalkan koefisien $a,b,$ dan $c$ pada persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ merupakan bilangan rasional $a\ne 0$. Buktikan bahwa jika $\alpha =r+s\sqrt{2}$ merupakan akar persamaan tersebut dengan $r$ dan $s$ rasional, maka $\beta =r-s\sqrt{2}$ juga merupakan akar.

Diketahui barisan $(x_n)$ dengan $x_1=1,x_2=2$ dan $x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}{x}_n},n\in \mathbb{N}$. Buktikan bahwa:

(a) $1\le x_n\le 2$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$,

(b) $|x_{n+2}-x_{n+1}|\le \frac{2}{3}|x_{n+1}-x_n|,n\in \mathbb{N}$,

(c) $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy.

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dengan sifat untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}$ dan $c$ skalar berlaku $f(x+y)=f(x)+f(y)$ dan $f(cx)=cf(x)$. Jika $f$ kontinu di $0$, tunjukkan bahwa $f$ kontinu pada $\mathbb{R}$.