Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Diketahui $S=\{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}\mid m,n\in \mathbb{N}\},$ maka $\sup S=\dots$

Bentuk umum fungsi naik tegas $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ yang memenuhi $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0),\forall x,y\in \mathbb{R}$ adalah $\dots$

Diberikan barisan bilangan real nonnegatif yang naik monoton $(x_k)$, yang mempunyai sifat $x_{nk}\ge n{x}_k$ dan $\sup \frac{x_k}{k}=x<\infty$. Barisan $\left(\frac{x_k}{k}\right)$ konvergen ke $\dots$

Fungsi $f:(0,1)\to \mathbb{R}$, dengan $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ dan $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(\frac{x}{2})}{x}=0.$ Nilai $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\dots$

Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dengan $f(x)=4x^2+1$, untuk setiap $x\in \mathbb{R}$ dan barisan $(x_n)$ dengan $x_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+5k+6},$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Nilai $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\dots$

Fungsi $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ dikatakan terdiferensial seragam pada $(a,b)$, jika $f$ terdiferensial di setiap titik $x\in (a,b)$ dan memenuhi sifat $\forall \epsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian sehingga $\forall x,y\in (a,b)$ dengan $|x-y|<\delta ,$ maka $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}-f^{\prime }(x)\right|<\epsilon .$ Contoh fungsi terdiferensial tetapi tidak terdiferensial seragam adalah $\dots$

Untuk setiap $n\in \mathbb{N},f_n(x)=\sum _{k=1}^n(-1{)}^n{x}^n,$ untuk setiap $-1<x<1$. Jika fungsi $f:(-1,1)\to \mathbb{R}$ dengan $f=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n,$ pada $(-1,1)$, maka nilai ${\int }_0^{1/2}f(x)\mathrm{d}x=\dots$

Jika fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kontinu dan $A=\{x\in \mathbb{R}:f^2(x)\le 1\},$ maka klosur dari $A$, yaitu $\overline{A}=\dots$

Diketahui barisan $(x_n)$ dengan $x_n\ge 1$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Didefinisikan barisan $(y_n)$ dengan $y_n=x_n+\frac{2}{x_n}$ untuk setiap $n$. Jika $(y_n)$ konvergen buktikan bahwa $(x_n)$ konvergen.

Misalkan $f$ fungsi bernilai real terdiferensialkan pada $[a,b]$ dengan $f^{\prime }(x)\ne 0,\forall x\in (a,b)$ dan $f(a)=f(b)=0$. Tunjukkan terdapat $x_0\in (a,b)$ sedemikian sehingga $|f^{\prime }(x_0)|>\frac{1}{(b-a{)}^2}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$

Diketahui fungsi $\phi$ konveks pada $\mathbb{R}$ dan $f$ terintegral pada $[0,1]$. Buktikan bahwa ${\int }_0^1\phi (f(t))\mathrm{d}t\ge \phi \left({\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t\right).$