Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Infimum dari himpunan $A=\{3^{2x}+3^{\frac{1}{2x}}:x>0\}$ adalah $\dots$

Misalkan fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, mempunyai limit $L$ di titik $x=0$. Jika $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ didefinisikan dengan $g(x)=f(a{x}^2+x),\forall x\in \mathbb{R}$ dan $a>0$, maka $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\dots$

Benar atau salah : Jika $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ dan $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=c$, maka $\underset{x\to a}{\lim }(g\circ f)(x)=c$. Jika salah berilah contohnya.

Diberikan barisan bilangan real $(a_n)$ yang didefinisikan dengan $a_1=\frac{1}{2},$ dan $a_{n+1}=a_n+a_n^2.$ Apakah $(a_n)$ konvergen? Jika ya, berapakah limitnya?

Diketahui bahwa $p$ buah bilangan non-negatif $a_1,a_2,\dots ,a_p$ bersifat $a_i\le a_{i-1},i=2,3,\dots ,p$. Nilai dari $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1^n+a_2^n+\cdots +a_p^n{)}^{1/n}$ adalah $\dots$

Misalkan $H$ adalah himpunan semua fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dimana $f$ mempunyai turunan yang kontinu, $f(0)=0,$ dan $f(1)=1$. Untuk sembarang $f\in H$ didefinisikan $l_f$ sebagai panjang grafik dari $f$ pada interval $[0,1]$. Nilai dari $\sup \{l_f\mid f\in H\}$ adalah $\dots$

Nilai dari $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{x^n{e}^{x^n}}{\cos x}\mathrm{d}x$ adalah $\dots$

Contoh himpunan yang mempunyai tepat 2008 titik limit adalah $\dots$

Diberikan barisan $(x_n)$ yang konvergen ke $x$ dan selanjutnya didefinisikan barisan $(y_n)$ dengan $y_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{x}_k.$

Tunjukkan bahwa $(y_n)$ juga konvergen ke $x$.

Diketahui fungsi $f,f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},n=1,2,3,\dots$. Untuk sebarang barisan $(x_n)$ yang konvergen ke $x$ berakibat barisan $\left(f_n(x_n)\right)$ konvergen ke $f(x)$. Tunjukkan bahwa fungsi $f$ kontinu.