Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Real

Diketahui barisan $(x_n{)}_{n\ge 0}$, dengan $x_0=0$ dan $x_{n+1}=\frac{3}{2}{x}_n-\frac{1}{2}{x}_{n-1},n\ge 1$. Dinyatakan dalam $x_0$ dan $x_1$, nilai $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\dots$

Diketahui $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ merupakan fungsi naik. Fungsi $f$ kontinu di $a$ jika dan hanya jika $f(a)=\dots$

Diketahui fungsi $f,g:[0,1]\to \mathbb{R}$ kontinu. Jika $g(x)>0$, untuk setiap $x\in [0,1]$, maka $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1{x}^{n}f(x)\mathrm{d}x}{{\int }_0^1{x}^{n}g(x)\mathrm{d}x}=\dots$

Jika $s>0,t>0$, nilai-nilai $s$ dan $t$ agar deret $\sum \frac{(s+n)(s+n-1)\dots (s+1)}{(t+n)(t+n-1)\dots (t+1)}$ konvergen adalah $\dots$

Diketahui $\alpha$ merupakan bilangan irasional dan $\mathbb{Z}$ menyatakan himpunan semua bilangan bulat. Jika $A=\{m+n\alpha :m,n\in \mathbb{Z}\}$, maka klosur dari $A$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ fungsi kontinu dengan $f\left(r+\frac{1}{n}\right)=f(r)$ untuk setiap bilangan asli $n$, maka $f(x)=\dots ,$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$.

Misalkan $f$ dan $g$ terdefinisi pada interval $I\subseteq \mathbb{R},f^{\prime \prime }$ dan $g^{\prime \prime }$ ada dan kontinu pada $I$. Jika $f(c)=g(c)=0$ dan $g^{\prime \prime }(c)\ne 0$ untuk suatu $c\in I$, syarat agar $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime \prime }(c)}{g^{\prime \prime }(c)}$ adalah $\dots$

Misalkan barisan fungsi $(f_n)$ konvergen ke fungsi $f$ pada selang $[a,b]$. Jika $f_n^{\prime }$ kontinu untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ pada $[a,b]$ dan barisan $(f_n^{\prime })$ konvergen seragam ke fungsi $g$ pada $[a,b]$, maka nilai ${\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t=\dots$

Diketahui barisan $(a_n)$. Didefinisikan barisan $(b_n)$ sebagai berikut: $b_n=\frac{a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots +(-1{)}^{n+1}{a}_n}{n}.$

(a) Buktikan bahwa: Jika $a_n\to 0$, maka $b_n\to 0$.

(b) Jika $a_n\to L$, dengan $L\ne 0$, selidiki kekonvergenan $(b_n)$.

Jika fungsi $f:[0,1]\to [0,1]$ memenuhi $|f(x)-f(y)|\le |x-y|$ untuk setiap $x,y\in [0,1]$. Buktikan bahwa $F=\{x\in [0,1]:f(x)=x\}$ merupakan singleton atau interval.

Diketahui fungsi $f:[0,a]\to [0,\infty )$ kontinu dengan $f(0)$ dan $f$ mempunyai derivatif kanan dengan nilai derivatif kanan $f$ di $0$ adalah $0$. Jika $f(t)\le {\int }_0^t\frac{f(s)}{s}\mathrm{d}s,$ untuk setiap $t\in [0,a]$. Buktikan bahwa $f$ merupakan fungsi nol pada $[0,a]$.