Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Diberikan fungsi tak nol $f:D\to \mathbb{R}$ dan fungsi $g:D\to \mathbb{R}$ dengan $D\subseteq \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $\frac{g(x)}{f(x)}\le 1,\text{untuk setiap }x\in D.$ Berilah contoh fungsi $f$ dan fungsi $g$ yang menunjukkan bahwa belum tentu berlaku $\underset{x\in D}{\sup }g(x)\le \underset{x\in D}{\inf }f(x).$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\left(\frac{1}{n}\right)}^n+{\left(\frac{2}{n}\right)}^n+\cdots +{\left(\frac{n}{n}\right)}^n\right]=\dots$

Jika barisan bilangan real positif $(a_n)$ memenuhi $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n<\infty ,$ maka ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{-1}{\left({\sum }_{k=1}^n\sqrt{a_k}\right)}^2=\dots$

Deret fungsi $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-x{)}^{k+1}}{k}$ konvergen ke $\dots$ dengan interval konvergensi $\dots$

Diketahui fungsi $f$ terintegral pada $[a,b]$ dan $S=\{x\in (a,b):f\text{ kontinu di }x\}.$ Jika $p\in S$ dan ${\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x=0,$ maka $p^2+f^2(p)=\dots$

Diketahui fungsi $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ kontinu dan $f^{\prime }(x)$ ada untuk setiap $x\in (0,1).$ Jika untuk setiap $x\in (0,1)$ berlaku $0\le f^{\prime }(x)\le 2f(x),$ maka rumus $f$ pada $[0,1]$ adalah $f(x)=\dots$

Diketahui fungsi $f:[a,b]\to [a,b]$ kontinu dan naik. Jika $f(a)=a$ dan $E=\{x\in [a,b]:f(x)\ge x\},$ maka $f(E)=\dots$

Diberikan fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ dengan $f(x)=1+a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots +a_n\sin nx,$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}.$ Jika $|f(x)-1|=2\sin 2x,$ maka nilai $|a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n|=\dots$

Diketahui fungsi $f$ mempunyai turunan hingga tingkat ke-2 pada $[0,1]$ dan fungsi $g$ didefinisikan dengan $g(x)=f(x)+f(1-x).$ Jika $f^{\prime \prime }(x)>0,$ untuk setiap $x\in [0,1],$ buktikan bahwa $g$ turun pada $[0,\frac{1}{2}]$.

Diketahui fungsi $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ terdiferensial dan tidak ada $x$ dengan $f(x)=f^{\prime }(x)=0.$ Tunjukkan bahwa himpunan $\{x\in [0,1]:f(x)=0\}$ berhingga.

Diketahui fungsi $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ mempunyai turunan hingga tingkat ke-2 pada $(0,1)$. Jika $f(0)=f(1)=0$ dan $f^{\prime \prime }+2f^{\prime }+f\ge 0$ pada $(0,1),$ buktikan bahwa $f(x)\le 0$, untuk setiap $x\in [0,1]$.