Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Kompleks

Tuliskan bilangan kompleks $2009^i-i^{2009}$ dalam bentuk $a+bi$ dengan $a,b$ bilangan real.

Tentukan fungsi linear entire (entire linear function) yang membawa segitiga dengan titik sudut $0,1,$ dan $i$ menjadi segitiga sebangun dengan titik sudut $0,2,$ dan $1+i$.

Misalkan $C$ adalah himpunan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $|z|=\left|\frac{1}{z}\right|$, maka bilangan real terkecil $A$ yang memenuhi $|z-2i|\le A$ untuk setiap $z\in C$ adalah $\dots$

Hitung nilai ${\int }_C\overline{z}\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lengkungan kurva.

Hitung nilai ${\oint }_{|z|=2}\frac{z+2}{z^3-3z^2}\mathrm{d}z$ dengan arah lengkungan sesuai dengan arah gerak jarum jam.

Hitung nilai ${\int }_{|z|=2}\frac{z+2}{z^2-z}\mathrm{d}z$.

Hitung nilai ${\oint }_C{z}^2\exp \left(\frac{1}{z}\right)\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lingkaran $|z|=3$ dengan arah jarum jam.

Tentukan daerah konvergensi deret $\sum _{n=0}^{\infty }\left(z^n+\frac{1}{2^n{z}^n}\right)$.

Misalkan $f(z)$ fungsi analitik yang terdefinisi pada himpunan buka yang memuat cakram satuan $\{z:|z|\le 1\}.$ Misalkan pula $u(x,y)=\text{Re}(f(z))$ yaitu bagian real dari nilai fungsi $f$ di titik $(x,y)$. Buktikan bahwa ${\int }_C\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x=0$ dengan $C$ adalah lingkaran satuan.

Diketahui deret $\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$ mempunyai jari-jari konvergensi $R$, dan bilangan kompleks $z_0$. Tentukan jari-jari konvergensi deret ${\sum }_{n=0}^{\infty }(1+z_0^n)c_n{z}^n.$