Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Kompleks

Tentukan nilai $5\text{Re}(z)+7\text{Im}(z)$ jika $z=(3-3i{)}^{2010}$.

Tentukan nilai $\oint \frac{1}{z^3(z+4)}\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lingkaran $|z+5|=3$.

Dengan menggunakan ${\oint }_C\frac{\mathrm{d}z}{z+1}$ di mana $C$ lingkaran $|z|=2$, hitunglah ${\oint }_C\frac{(x+1)\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{(x+1{)}^2+y^2}$.

Diketahui $f(z)=z^5+2z^3-3i{z}^2+2z-1+i$, hitung ${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lingkaran yang melingkupi semua akar $f(z)$.

Misalkan $(a_n)$ barisan bilangan kompleks dengan $\sum |a_n|<\infty$ dan $\sum n|a_n|=\infty$. Tentukan jari-jari konvergensi deret $\sum a_n{2}^n{z}^n$.

Misalkan $f$ fungsi analitik di $z_0\in \Omega$ dengan $f^{\prime }(z_0)\ne 0$. Jika $C$ adalah lingkaran yang cukup kecil yang melingkari $z_0$, hitunglah:

(a) ${\oint }_C\frac{f(z)-f(z_0)}{(z-z_0{)}^2}\mathrm{d}z,$

(b) ${\oint }_C\frac{1}{f(z)-f(z_0)}\mathrm{d}z.$

Tentukan peta himpunan $A=\{z\in \mathbb{C}:1<|z|<3,0<\arg (z)<\frac{\pi }{6}\}$ oleh pemetaan $f(z)=-i{z}^3$.