Latihan Soal Bab 7: Ring Polinomial

Pembahasan: Misalkan $I$ adalah ideal dari $F[x]$. Jika $I=\{0\}$, maka $I=⟨0⟩$ utama. Jika $I\ne \{0\}$, pilih $d(x)\in I$ tak nol dengan derajat terkecil. Ambil sembarang $f(x)\in I$. Berdasarkan algoritma pembagian di $F[x]$, $f(x)=d(x)q(x)+r(x)$ dengan $r(x)=0$ atau $\text{deg}(r)<\text{deg}(d)$. Karena $r(x)=f(x)-d(x)q(x)\in I$, karena $d(x)$ berderajat terkecil di $I$, haruslah $r(x)=0$. Maka $f(x)=d(x)q(x)⟹I=⟨d(x)⟩$. Terbukti $F[x]$ PID. $■$

Pembahasan:

1. Di $\mathbb{Q}[x]$: $x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)$. Kedua faktor kuadratik irredusibel atas $\mathbb{Q}$.
2. Di $\mathbb{R}[x]$: $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2)$. ($x^2+2$ irredusibel di $\mathbb{R}$).
3. Di $\mathbb{C}[x]$: $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})$. $■$