Latihan Akhir - Bagian II: Essay Pembuktian

Pembahasan:

1. Normalitas: Ambil $g\in G,h\in H$. Perhatikan $(gh{)}^2\in H⟹ghgh\in H$. Karena $g^2\in H⟹g^{-1}\in gH$. Hitung $gh{g}^{-1}=ghgh{h}^{-1}{g}^{-2}\in H$. maka $H⊴G$.
2. Grup Kuosien Abelian: Untuk setiap $xH\in G/H$, $(xH{)}^2=x^{2}H=H$ (identitas di $G/H$). Berdasarkan soal Bab 1, grup yang setiap elemennya berkuadrat identitas adalah grup Abelian. Terbukti $G/H$ Abelian. $■$

Pembahasan:

• Ambil $a\in G$ dengan $a\ne e$. Subgrup $⟨a⟩\le G$ tidak trivial.
• Karena $G$ tidak memiliki subgrup sejati tidak trivial, haruslah $⟨a⟩=G$. Maka $G$ adalah grup siklik.
• Jika $|G|=\infty$, maka $⟨a^2⟩$ adalah subgrup sejati tidak trivial dari $G$, kontradiksi. Maka $G$ berhingga.
• Jika $|G|=n$ komposit ($n=d\cdot k$), maka $⟨a^d⟩$ adalah subgrup sejati berorde $k$, kontradiksi. Maka $|G|=p$ haruslah bilangan prima. Terbukti $G$ siklik berorde prima. $■$

Pembahasan: Misalkan $S=\{x\in G:\varphi (x)=x^{-1}\}$ dengan $|S|>\frac{3}{4}|G|$. Untuk $a,b\in S$ sedemikian sehingga $ab\in S$:

• $\varphi (ab)=(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$.
• Di sisi lain, $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=a^{-1}{b}^{-1}$. Maka $a^{-1}{b}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}⟹ab=ba$. Melalui analisis kardinalitas himpunan $S\cap a^{-1}S$, dapat ditunjukkan bahwa sifat komutatif berlaku untuk seluruh pasangan elemen di $G$. Maka $G$ Abelian. $■$

Pembahasan: Ambil $y\in f(Z(G))⟹y=f(z)$ untuk suatu $z\in Z(G)$. Ambil sembarang $h\in H$. Karena $f$ surjektif, $h=f(g)$ untuk suatu $g\in G$. Hitung $yh=f(z)f(g)=f(zg)=f(gz)=f(g)f(z)=hy$. Maka $y\in Z(H)$, terbukti $f(Z(G))\subseteq Z(H)$. $■$

Pembahasan:

• Pertama tunjukkan $6x=0$: $(x+x{)}^3=8x^3=8x=2x⟹6x=0$.
• Dari $(x+1{)}^3=x+1⟹x^3+3x^2+3x+1=x+1⟹3x^2+3x=0⟹3x^2=-3x=3x$.
• Untuk $x+y$: $(x+y{)}^3=x+y⟹x{y}^2+y{x}^2+xyx+yxy+x^{2}y+y^{2}x=0$. Melalui penjabaran aljabar dan substitusi $3x^2=3x$, diperoleh $xy=yx$ untuk semua $x,y\in R$. Terbukti komutatif. $■$

Pembahasan: Misalkan $P$ adalah ideal prima. Jelas $P\subseteq \text{Rad}(P)$. Sebaliknya, ambil $r\in \text{Rad}(P)⟹r^n\in P$ untuk suatu $n\ge 1$. Gunakan induksi: Karena $P$ prima, $r\cdot r^{n-1}\in P⟹r\in P$ atau $r^{n-1}\in P$. Lanjutkan proses hingga diperoleh $r\in P$. Maka $\text{Rad}(P)\subseteq P⟹\text{Rad}(P)=P$. Terbukti radikal. $■$

Pembahasan: Berdasarkan algoritma pembagian di $F[x]$, setiap $g(x)\in F[x]$ dapat ditulis $g(x)=f(x)q(x)+r(x)$ dengan $r(x)=0$ atau $\text{deg}(r)<n$. Maka di ring kuosien: $g(x)+⟨f(x)⟩=r(x)+⟨f(x)⟩$. Karena $r(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}$, substitusi $\alpha =x+⟨f(x)⟩$ memberikan bentuk tunggal $c_0+c_1\alpha +\cdots +c_{n-1}{\alpha }^{n-1}$. $■$

Pembahasan: Telah dibuktikan di Bab 7 bahwa $\mathbb{Z}[i]$ adalah Daerah Euclid dengan norma $d(a+bi)=a^2+b^2$. Berdasarkan Teorema Hirarki Daerah Euclid ($\text{ED}⟹\text{PID}$), maka setiap Daerah Euclid adalah Daerah Ideal Utama (PID). Terbukti $\mathbb{Z}[i]$ PID. $■$

Pembahasan:

• Jelas $IJ\subseteq I\cap J$ untuk sebarang ideal $I,J$.
• Karena $I+J=R⟹1=i+j$ untuk suatu $i\in I,j\in J$.
• Ambil $x\in I\cap J$. Maka $x=x\cdot 1=x(i+j)=xi+xj=ix+xj$.
• Karena $i\in I,x\in J⟹ix\in IJ$. Karena $x\in I,j\in J⟹xj\in IJ$. Maka $x\in IJ⟹I\cap J\subseteq IJ$. Terbukti $I\cap J=IJ$. $■$

Pembahasan:

• Pilih lapangan dasar $F={\mathbb{Z}}_2$. Karena $8=2^3$, kita memerlukan polinomial irredusibel berderajat 3 atas ${\mathbb{Z}}_2[x]$.
• Polinomial $p(x)=x^3+x+1$ irredusibel di ${\mathbb{Z}}_2[x]$ (evaluasi $p(0)=1,p(1)=1\ne 0$).
• Lapangan yang dikonstruksi adalah $K={\mathbb{Z}}_2[x]/⟨x^3+x+1⟩$.
• Elemen-elemennya berbentuk $c_0+c_1\alpha +c_2{\alpha }^2$ dengan $c_i\in \{0,1\}$ dan ${\alpha }^3=\alpha +1$. Total ada $2^3=8$ elemen. $■$