Teorema Isomorfisma Pertama untuk Grup

Teorema Isomorfisma Pertama memberikan alat utama untuk mengidentifikasi struktur grup kuosien melalui pencitraan homomorfisme.

1. Teorema Isomorfisma Pertama

Teorema (Teorema Isomorfisma Pertama untuk Grup)

Misalkan $ϕ : G \to H$ adalah homomorfisma grup. Maka:

$G / Ker (ϕ) ≅ Im (ϕ)$

Secara khusus, jika $ϕ$ surjektif, maka $G / Ker (ϕ) ≅ H$ .

Bukti

Definisikan pemetaan $ψ : G / Ker (ϕ) \to Im (ϕ)$ dengan $ψ (g Ker (ϕ)) = ϕ (g)$ .

Well-defined & Injektif: $g_{1} Ker (ϕ) = g_{2} Ker (ϕ) ⟺ g_{1}^{- 1} g_{2} \in Ker (ϕ) ⟺ ϕ (g_{1}) = ϕ (g_{2}) ⟺ ψ (g_{1} Ker (ϕ)) = ψ (g_{2} Ker (ϕ))$ .
Homomorfisma: $ψ ((a K) (b K)) = ψ (ab K) = ϕ (ab) = ϕ (a) ϕ (b) = ψ (a K) ψ (b K)$ .
Surjektif: Jelas dari konstruksi $Im (ϕ)$ . Maka $ψ$ adalah isomorfisma. $■$

■

Contoh (Isomorfisma Z / nZ \u2245 Zn)

Gunakan Teorema Isomorfisma Pertama untuk membuktikan $Z / n Z ≅ Z_{n}$ .

✏️ Latihan Soal 1 (Grup Lingkaran S1 \u2245 R/Z)

Buktikan bahwa $(R / Z, +)$ isomorfis dengan grup lingkaran $S^{1} = {z \in C : ∣ z ∣ = 1}$ terhadap perkalian.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Definisikan homomorfisma $ϕ : (R, +) \to (S^{1}, \cdot)$ dengan $ϕ (x) = e^{2 π i x}$ .

Homomorfisma: $ϕ (x + y) = e^{2 π i (x + y)} = e^{2 π i x} \cdot e^{2 π i y} = ϕ (x) ϕ (y)$ .
Surjektif: Setiap $e^{i θ} \in S^{1}$ dapat ditulis $e^{2 π i (θ /2 π)} = ϕ (θ /2 π)$ .
Kernel: $Ker (ϕ) = {x \in R : e^{2 π i x} = 1} = Z$ . Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama: $R / Z ≅ S^{1}$ . $■$