Homomorfisma Grup dan Sifat Dasar

Homomorfisma memungkinkan kita membandingkan dua grup dan menentukan sejauh mana keduanya memiliki struktur aljabar yang serupa.

1. Definisi Homomorfisma dan Isomorfisma

Definisi (Homomorfisma & Isomorfisma)

Suatu pemetaan $ϕ : G \to H$ antara dua grup $(G, \cdot)$ dan $(H, *)$ disebut homomorfisma jika untuk setiap $a, b \in G$ :

$ϕ (a \cdot b) = ϕ (a) * ϕ (b)$

Jika $ϕ$ bersifat bijektif, maka $ϕ$ disebut isomorfisma (dinotasikan $G ≅ H$ ).

2. Kernel dan Citra

Definisi (Kernel dan Citra)

Misalkan $ϕ : G \to H$ adalah homomorfisma.

Kernel: $Ker (ϕ) = {g \in G : ϕ (g) = e_{H}} \subseteq G$
Citra (Image): $Im (ϕ) = {ϕ (g) : g \in G} \subseteq H$

Teorema (Kernel Selalu Subgrup Normal)

Jika $ϕ : G \to H$ adalah homomorfisma, maka $Ker (ϕ) ⊴ G$ .

Teorema (Uji Injektivitas melalui Kernel)

Homomorfisma $ϕ : G \to H$ bersifat injektif jika dan hanya jika:

$Ker (ϕ) = {e_{G}}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Homomorfisma Eksponensial 2^x)

Didefinisikan pemetaan $ϕ : (R, +) \to (R^{*}, \cdot)$ dengan $ϕ (x) = 2^{x}$ . Periksa apakah $ϕ$ merupakan homomorfisma dan tentukan kernelnya.

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Invers Terhadap Homomorfisma)

Buktikan bahwa untuk setiap $a \in G$ , $ϕ (a^{- 1}) = [ϕ (a)]^{- 1}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $ϕ (a) \cdot ϕ (a^{- 1}) = ϕ (a \cdot a^{- 1}) = ϕ (e_{G}) = e_{H}$ . Karena invers di $H$ adalah tunggal, maka $ϕ (a^{- 1}) = [ϕ (a)]^{- 1}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Isomorfisma Pertama untuk Grup →

1. Definisi Homomorfisma dan Isomorfisma

2. Kernel dan Citra

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien

Teorema Isomorfisma Pertama untuk Grup

Diskusi & Tanya Jawab

Title