Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Struktur Aljabar

Diketahui ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2=\left\{(a,b)\mid a,b\in {\mathbb{Z}}_2\right\}$ grup terhadap operasi tambah. Banyak automorfisme di ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$ adalah $\dots$

Misalkan field $F$ berorde $k$ dan $G=G{L}_n(F)$. Jika $Z(G)$ adalah senter dari $G$, yaitu $Z(G)=\left\{g\in G\mid xg=gx,\forall x\in G\right\}$, maka banyaknya unsur di $Z(G)$ adalah $\dots$

Unsur di $S_4$ yang berorde 12 adalah $\dots$

Ideal di ring $M_2({\mathbb{Z}}_2)$ yang dibangun oleh $x=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ adalah $\dots$

Jika $D$ suatu integral domain dengan sifat untuk setiap $x\in D$ berlaku $x^2=x$. Maka banyaknya unsur di $D$ adalah $\dots$

Diketahui $\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ daerah Euclid bilangan bulat Gauss dengan pemetaan $d:\mathbb{Z}-\{0\}\to \{1,2,\dots \}$ adalah $d(a+bi)=a^2+b^2$ untuk semua $a+bi\in \mathbb{Z}[i]-\{0\}$. Faktorisasi prim dari $100\in \mathbb{Z}[i]$ adalah $\dots$

Ring ${\mathbb{Z}}_{15}[x]$ bukan unique factorisation domain. Sebagai contoh, ada dua buah faktorisasi atas prim yang berbeda dari polinom $x^2-3x+2$ di ring ${\mathbb{Z}}_{15}[x],$ yaitu $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$ dan $x^2-3x+2=\dots$

Jika field $F$ hingga maka $F-\{0\}$ membentuk grup siklis terhadap operasi kali di $F$. Pembangun dari $F-\{0\}$ disebut elemen primitif dari $F$. Contoh elemen primitif dari field ${\mathbb{Z}}_2[x]/⟨x^3+x+1⟩$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu grup dan $K\subseteq G$ subgrup dari $G$ dengan indeks $K$ di $G$ yaitu $[G:K]=23.$

(a) Tentukan semua subgrup dari $G$ yang mengandung $K$.

(b) Jika $G$ grup komutatif dan orde dari $K$ yaitu $|K|=5$ tunjukkan bahwa $G$ grup siklis.

Misalkan ring $R$ komutatif dan untuk setiap $a\in R$ didefinisikan $ann(a)=\{x\in R\mid ax=0\}.$

(a) Untuk setiap $a\in R$ buktikan bahwa $ann(a)$ adalah ideal dari $R$.

(b) Jika $a,r\in R,ar\ne 0$ dan $ann(a)$ ideal prima tunjukkan $ann(ar)$ juga ideal prima.

Misalkan $\alpha \in \mathbb{R}$ dengan $\alpha \ne 0$ dan terdapat bilangan bulat positif $n$ sehingga ${\alpha }^n\in \mathbb{Q}$. Misalkan pula $g(x)$ polinom monik berderajat terkecil di $\mathbb{Q}[x]$ sehingga $g(\alpha )=0.$

(a) Tunjukkan bahwa terdapat $h(x)\in \mathbb{Q}[x]$ sehingga $x^n-{\alpha }^n=h(x)g(x)$.

(b) Jika $\mathrm{deg}(g(x))=m$ tunjukkan bahwa $g(0)=\pm {\alpha }^m.$