Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Struktur Aljabar

Misalkan $G$ suatu grup dengan $|G|=2013$. Ada berapa banyak subgrup $H$ dari $G$ sehingga $|H|=13$?

Perhatikan grup dihedral dengan order 8: $D_8=\{e,y,y^2,y^3,x,xy,x{y}^2,x{y}^3\},x^2=y^4=e\text{dan}xy=y^{-1}x.$ Banyaknya unsur berorde dua di $D_8$ adalah $\dots$

Diberikan ${\mathbb{Z}}_2$ sistem bilangan bulat modulo 2 dan himpunan $G=\left\{\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ 0& a_{22}\end{array}\right):a_{ij}\in {\mathbb{Z}}_2\right\}.$ Banyaknya subgrup berorde dua dari $G$ adalah $\dots$

Ada berapa banyak $n\in \mathbb{Z}$ sehingga ideal $⟨n,x⟩$ di $\mathbb{Z}[x]$ merupakan ideal utama?

Invers polinom $f(x)=x+1\in \frac{{\mathbb{Z}}_2[x]}{⟨x^7+x+1⟩}$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu himpunan dengan operasi perkalian yang asosiatif. Misalkan terdapat $e\in G$ sehingga

(a) $xe=x$ untuk setiap $x\in G$ dan

(b) Untuk setiap $x\in G$, terdapat $y\in G$ sehingga $xy=e$.

Buktikan bahwa $G$ adalah grup.

Misalkan $R$ suatu gelanggang di mana unsur kesatuan $1_R$ tidak sama dengan nol. Unsur $e\in R$ disebut unsur idempoten apabila $e^2=e$.

(a) Jika $e\in R$ merupakan unsur idempoten, tunjukkan bahwa $1-e$ juga merupakan unsur idempoten.

(b) Jika $R$ memiliki $n$ buah idempoten, tunjukkan bahwa $n$ merupakan bilangan genap.