Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Struktur Aljabar

Grup ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$.

Subgrup bertipe swapped adalah subgrup yang tertutup terhadap penukaran komponen $(a,b)\mapsto (b,a)$:

1. $H_1=\{(0,0)\}$ (subgrup trivial)
2. $H_2=\{(0,0),(1,1)\}$
3. $H_3=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}={\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$

Banyaknya subgrup bertipe swapped adalah $3$.

Grup $\Omega$ isomorfik dengan grup siklis ${\mathbb{Z}}_{7^m}$.

Banyaknya generator $\omega$ sehingga $\Omega =⟨\omega ⟩$ sama dengan banyaknya elemen di ${\mathbb{Z}}_{7^m}$ yang relatif prima dengan $7^m$.

Nilainya diberikan oleh fungsi Totient Euler $\varphi (7^m)$:

$\varphi (7^m)=7^m-7^{m-1}=7^{m-1}(7-1)=6\cdot 7^{m-1}.$

Karena $x^2+x=x(x+1)$ di mana $\gcd (x,x+1)=1$ di ${\mathbb{Z}}_2[x]$, berdasarkan Teorema Sisa Cina:

$R=\frac{{\mathbb{Z}}_2[x]}{⟨x^2+x⟩}\cong \frac{{\mathbb{Z}}_2[x]}{⟨x⟩}\times \frac{{\mathbb{Z}}_2[x]}{⟨x+1⟩}\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2.$

Elemen di ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$ adalah $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$.

Elemen pembagi nol non-nol adalah $(1,0)$ dan $(0,1)$ karena $(1,0)(0,1)=(0,0)$.

Banyaknya unsur pembagi 0 di ring $R$ adalah $2$.

Karena $v^2=v$, elemen $v$ dan $1-v$ adalah idempoten ortogonal di ${\mathbb{Z}}_3[v]$.

Berdasarkan struktur ring, ${\mathbb{Z}}_3[v]\cong {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3$.

Ideal maksimal di ${\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_3$ berbentuk $I_1=\{0\}\times {\mathbb{Z}}_3$ dan $I_2={\mathbb{Z}}_3\times \{0\}$.

Banyaknya ideal maksimal di ${\mathbb{Z}}_3[v]$ adalah $2$.

(a) Pilih $A=\{0,1\}$ dan $B=\{0,1,2,\dots ,n-2\}$. Maka $A\cap B=\{0\}⟹|A\cap B|=1$, serta $A,B\ne {\mathbb{Z}}_n$. Penjumlahan $A+B=\{0,1,2,\dots ,n-1\}={\mathbb{Z}}_n$.

(b) Ambil sebarang $g\in G$. Definisikan himpunan $g\star B^{-1}=\{g\star b^{-1}\mid b\in B\}$. Ukuran dari $g\star B^{-1}$ sama dengan $|B|$. Karena $|A|+|g\star B^{-1}|=|A|+|B|>|G|$, berdasarkan Prinsip Sarang Burung Merpati (Pigeonhole Principle), himpunan $A$ dan $g\star B^{-1}$ harus beririsan:

$\exists a\in A,b\in B\text{ s.t. }a=g\star b^{-1}⟹g=a\star b\in A\star B.$

Terbukti bahwa $G=A\star B$.

Bukti:

• ($⟹$) Jika $1+1=0$ di $K$, maka Karakteristik($K$) = 2. Di lapangan berkarakteristik 2, berlaku endomorfisma Frobenius $(A+B{)}^2=A^2+B^2$. Misalkan $f(X)=\sum a_i{X}^i$. Karena $K$ lapangan hingga berkarakteristik 2, setiap elemen $a_i\in K$ memiliki akar kuadrat tunggal $b_i\in K$ ($b_i^2=a_i$). Maka $f(X^2)=\sum a_i{X}^{2i}=\sum b_i^2{X}^{2i}={\left(\sum b_i{X}^i\right)}^2=(g(X){)}^2$. Karena $f(X^2)=(g(X){)}^2$ dengan $\mathrm{deg}(g)\ge 1$, $f(X^2)$ selalu tereduksi di $K[X]$.

• ($⟸$) Sebaliknya, jika setiap $f(X^2)$ tereduksi, pilih $f(X)=X+1⟹f(X^2)=X^2+1=(X+1{)}^2⟹1+1=0$.