Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Struktur Aljabar

Grup $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$.

Subgrup bertipe swapped adalah subgrup yang tertutup terhadap penukaran komponen $(a,b) \mapsto (b,a)$:

1. $H_1 = \{(0,0)\}$ (subgrup trivial)
2. $H_2 = \{(0,0), (1,1)\}$
3. $H_3 = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\} = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$

Banyaknya subgrup bertipe swapped adalah $3$.

Grup $\Omega$ isomorfik dengan grup siklis $\mathbb{Z}_{7^m}$.

Banyaknya generator $\omega$ sehingga $\Omega = \langle\omega\rangle$ sama dengan banyaknya elemen di $\mathbb{Z}_{7^m}$ yang relatif prima dengan $7^m$.

Nilainya diberikan oleh fungsi Totient Euler $\phi(7^m)$:

$\phi(7^m) = 7^m - 7^{m-1} = 7^{m-1}(7 - 1) = 6 \cdot 7^{m-1}.$

Karena $x^2 + x = x(x+1)$ di mana $\gcd(x, x+1) = 1$ di $\mathbb{Z}_2[x]$, berdasarkan Teorema Sisa Cina:

$R = \frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^2 + x \rangle} \cong \frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x \rangle} \times \frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x + 1 \rangle} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.$

Elemen di $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ adalah $\{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$.

Elemen pembagi nol non-nol adalah $(1,0)$ dan $(0,1)$ karena $(1,0)(0,1) = (0,0)$.

Banyaknya unsur pembagi 0 di ring $R$ adalah $2$.

Karena $v^2 = v$, elemen $v$ dan $1-v$ adalah idempoten ortogonal di $\mathbb{Z}_3[v]$.

Berdasarkan struktur ring, $\mathbb{Z}_3[v] \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$.

Ideal maksimal di $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ berbentuk $I_1 = \{0\} \times \mathbb{Z}_3$ dan $I_2 = \mathbb{Z}_3 \times \{0\}$.

Banyaknya ideal maksimal di $\mathbb{Z}_3[v]$ adalah $2$.

(a) Pilih $A = \{0, 1\}$ dan $B = \{0, 1, 2, \dots, n-2\}$. Maka $A \cap B = \{0\} \implies |A \cap B| = 1$, serta $A, B \neq \mathbb{Z}_n$. Penjumlahan $A + B = \{0, 1, 2, \dots, n-1\} = \mathbb{Z}_n$.

(b) Ambil sebarang $g \in G$. Definisikan himpunan $g \star B^{-1} = \{g \star b^{-1} \mid b \in B\}$. Ukuran dari $g \star B^{-1}$ sama dengan $|B|$. Karena $|A| + |g \star B^{-1}| = |A| + |B| > |G|$, berdasarkan Prinsip Sarang Burung Merpati (Pigeonhole Principle), himpunan $A$ dan $g \star B^{-1}$ harus beririsan:

$\exists a \in A, b \in B \text{ s.t. } a = g \star b^{-1} \implies g = a \star b \in A \star B.$

Terbukti bahwa $G = A \star B$.

Bukti:

• ($\implies$) Jika $1 + 1 = 0$ di $K$, maka Karakteristik($K$) = 2. Di lapangan berkarakteristik 2, berlaku endomorfisma Frobenius $(A + B)^2 = A^2 + B^2$. Misalkan $f(X) = \sum a_i X^i$. Karena $K$ lapangan hingga berkarakteristik 2, setiap elemen $a_i \in K$ memiliki akar kuadrat tunggal $b_i \in K$ ($b_i^2 = a_i$). Maka $f(X^2) = \sum a_i X^{2i} = \sum b_i^2 X^{2i} = \left(\sum b_i X^i\right)^2 = (g(X))^2$. Karena $f(X^2) = (g(X))^2$ dengan $\deg(g) \ge 1$, $f(X^2)$ selalu tereduksi di $K[X]$.

• ($\impliedby$) Sebaliknya, jika setiap $f(X^2)$ tereduksi, pilih $f(X) = X + 1 \implies f(X^2) = X^2 + 1 = (X + 1)^2 \implies 1 + 1 = 0$.