Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Aljabar Linear

Tulis matriks sebagai $(2I + N)$ dengan $N = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$.

Karena $N^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, maka $N^k = 0$ untuk seluruh $k \ge 2$.

Berdasarkan ekspansi Teorema Binomial:

$(2I + N)^{2018} = (2I)^{2018} + 2018 \cdot (2I)^{2017} N + 0 = \begin{bmatrix}2^{2018} & 0 \\ 0 & 2^{2018}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 2018 \cdot 2^{2017} \\ 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2^{2018} & 2018 \cdot 2^{2017} \\ 0 & 2^{2018}\end{bmatrix}.$

Gunakan operasi baris elementer pada matriks $A$:

Kurangkan baris 2 dengan baris 1, dan baris 4 dengan baris 3. Setelah menyederhanakan determinan matriks $4 \times 4$, diperoleh faktor:

$\det(A) = (\alpha - 1)(\beta - 1)(\alpha + \beta + \alpha\beta - 3).$

Vektor kedua $\begin{bmatrix}3 & -6 \\ -3 & 9\end{bmatrix} = -3 \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 1 & -3\end{bmatrix}$ (kelipatan skalar dari vektor pertama).

Vektor keempat $\begin{bmatrix}3 & -3 \\ -3 & 8\end{bmatrix}$ merupakan kombinasi linear dari vektor pertama dan ketiga.

Maka dua vektor yang saling bebas linear yang membangun subruang tersebut adalah:

$\left\{\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 1 & -3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}\right\}.$

Matriks representasi dari bentuk bilinear $f$ pada komponen $u_1, u_2$ adalah $M = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -3 & k \end{bmatrix}$.

Syarat $f$ merupakan hasil kali dalam (definit positif):

• Minor utama 1: $\det([1]) = 1 > 0$.
• Minor utama 2: $\det(M) = k - (-3)(-3) = k - 9 > 0 \implies k > 9$.

Dari $A^T A = 4I$, diperoleh $A^{-1} = \frac{1}{4} A^T$.

Jika $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$, maka $\lambda$ juga nilai eigen dari $A^T$.

Di lain pihak, $\frac{1}{\lambda}$ adalah nilai eigen dari $A^{-1} = \frac{1}{4} A^T \implies \frac{4}{\lambda}$ adalah nilai eigen dari $A^T$.

Sehingga $\lambda = \frac{4}{\lambda} \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.

Matriks representasi dari $D^2 + D + I$ relatif terhadap basis standar $\{1, x, x^2\}$:

• $(D^2 + D + I)(1) = 1$
• $(D^2 + D + I)(x) = 1 + x$
• $(D^2 + D + I)(x^2) = 2 + 2x + x^2$

Matriksnya adalah $\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$. Nilai eigen tunggalnya adalah $\lambda = 1$.

Multiplisitas geometrinya adalah $\text{dim}(\text{Null}(M - I)) = 3 - \text{rank}\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = 3 - 2 = 1$.

Ruang nol matriks $K = \text{span}\{(0,1,-1)\}$.

Setiap vektor $(x,y,z) \in K^\perp$ harus ortogonal terhadap $(0,1,-1)$:

$(x,y,z) \cdot (0,1,-1) = y - z = 0 \implies y = z.$

Maka $(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,1)$, sehingga $K^\perp = \text{span}\{(1,0,0), (0,1,1)\}$.

Misalkan basis $X = \{A, B, C, D\}$. Hitung peta masing-masing basis di bawah $T$:

• $T(A) = A - B$
• $T(B) = 2A - B$
• $T(C) = 2A - B - D$
• $T(D) = -B + C$

Didapatkan matriks representasi $[T]_X = \begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix}.$

Garis $y = \tan(\theta) x$ memiliki sudut $\theta = -30^\circ = -\frac{\pi}{6}$.

Matriks pencerminan terhadap garis dengan sudut $\theta$ adalah:

$R_{2\theta} = \begin{bmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(-60^\circ) & \sin(-60^\circ) \\ \sin(-60^\circ) & -\cos(-60^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$

Hitung $T(-5,-4)$:

$T\begin{pmatrix}-5 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}-5 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{2} + 2\sqrt{3} \\ \frac{5\sqrt{3}}{2} + 2 \end{pmatrix}.$

Tinjau matriks blok $M = \begin{bmatrix}A & C \\ 0 & B\end{bmatrix}$.

Dimensi bayangan (image) dari $M$ mencakup bayangan dari blok $A$ pada vektor kolom berbentuk $(v, 0)^T$ dan bayangan dari blok $B$ pada komponen baris bawah.

Karena suku bawah kiri matriks bernilai $0$, tidak ada kombinasi linear kolom baris bawah dari $A$ yang dapat membatalkan kolom bebas linear dari $B$.

Maka $\text{rank}(M) \ge \text{rank}(A) + \text{rank}(B)$.

Matriks $A$ berukuran $(n+1) \times (n+1)$ merupakan matriks Hermitian ($A^* = A$).

Persamaan nilai eigen $A v = \lambda v$ untuk $v = (c, y)^T$ dengan $c \in \mathbb{C}, y \in \mathbb{C}^n$:

1. $x^* y = \lambda c$
2. $c x = \lambda y$

Substitusi (2) ke (1): $x^* (c x / \lambda) = \lambda c \implies \frac{c}{\lambda} x^* x = \lambda c \implies \lambda^2 c = c$ (karena $\|x\|_2^2 = x^* x = 1$).

• Untuk $c \neq 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = 1$ dan $\lambda = -1$.
  • Vektor eigen $\lambda = 1$: $\begin{pmatrix}1 \\ x\end{pmatrix}$.
  • Vektor eigen $\lambda = -1$: $\begin{pmatrix}1 \\ -x\end{pmatrix}$.
• Untuk $c = 0 \implies \lambda = 0$ dengan ruang eigen berdimensi $n - 1$ (seluruh $y \in \mathbb{C}^n$ yang ortogonal terhadap $x$).

Nilai eigen dari $A$ adalah $\lambda = 1, -1$, dan $0$ (dengan multiplisitas $n-1$).