Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Struktur Aljabar

Diberikan 2 bilangan bulat $a=2210$ dan $b=1131$. Pembagi persekutuan terbesar $d$ untuk $a$ dan $b$ dinyatakan sebagai $ax+by$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y$ adalah $\dots$

Diberikan $n_1\mathbb{Z},n_2\mathbb{Z},\dots ,n_k\mathbb{Z}$ ideal-ideal dalam ring $\mathbb{Z}$. Kernel pemetaan $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_{n_1}\times {\mathbb{Z}}_{n_2}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{n_k}$ yang didefinisikan dengan $r\mapsto (r\mathrm{mod}{n}_1,r\mathrm{mod}{n}_2,\dots ,r\mathrm{mod}{n}_k)$ adalah $\dots$

Diberikan $F$ lapangan, $f(x)$ adalah polinomial berderajat $n$ dalam $F[x]$ yang irredusibel dan $\alpha$ adalah suatu akar polinomial $f(x)$. Jika $F_2$ adalah lapangan dengan 2 elemen dan $f(x)=1+x+x^2$, maka elemen-elemen $F[x]/⟨f(x)⟩$ adalah $\dots$

Banyaknya elemen idempoten dalam ring ${\mathbb{Z}}_{210}$ adalah $\dots$

Diberikan $n$ suatu bilangan bulat positif. Didefinisikan $n\mathbb{R}=\{nr\mid r\in \mathbb{R}\}$ yang merupakan subgrup $\mathbb{R}$ terhadap operasi penjumlahan. Maka $\mathbb{R}/2009\mathbb{R}$ adalah $\dots$

Misalkan $G=\{e,\theta ,a,b,c,\theta a,\theta b,\theta c\}$ suatu grup dengan $a^2=b^2=c^2=\theta ,{\theta }^2=e,ab=\theta ba,bc=\theta cb=a,ca=\theta ac=b$. Senter dari $G$ adalah $\dots$

Jika $F_1$ dan $F_2$ adalah lapangan, maka banyaknya ideal dari $F_1\times F_2$ adalah $\dots$

Misalkan $f$ adalah homomorfisma dari suatu grup siklis yang berorder 8 pada suatu grup siklik yang berorder 4. $\ker f$ adalah $\dots$

Diberikan $X$ suatu himpunan tak kosong, $K$ lapangan dan $K[X]$ ruang vektor semua fungsi pada $X$ yang bernilai $K$. Adapun $S(x)$ menyatakan himpunan semua fungsi bijektif dari $X$ ke $X$. Jika $G$ sebarang grup aditif, maka aksi (action) grup $G$ pada $X$ adalah suatu homomorfisma grup dari $G$ ke $S(x)$. Selanjutnya, didefinisikan pengaitan berikut: $\psi :S(x)\to K[X],\sigma \mapsto {\sigma }_{\ast }$ dengan ${\sigma }_{\ast }(f)(x):=f({\sigma }^{-1}x)$ untuk sebarang $f\in K[X].$

(a) Buktikan bahwa $\psi$ merupakan homomorfisma grup.

(b) Jika $S$ adalah aksi grup $G$ pada $X$, maka buktikan bahwa ada homomorfisma grup berikut: $S_{\ast }:G\to K[X],S_{\ast }(g)=S(g{)}_{\ast }.$