Grup dan Subgrup Siklik

Salah satu cara paling mendasar untuk membangun subgrup adalah dengan menggunakan perpangkatan dari satu unsur tunggal, yang menghasilkan grup atau subgrup siklik.

1. Grup Siklik dan Orde Unsur

Definisi (Grup Siklik & Generator)

Suatu grup $G$ dikatakan siklik jika terdapat unsur $a \in G$ sedemikian sehingga $G = ⟨ a ⟩ = {a^{n} : n \in Z}$ . Unsur $a$ disebut pembangun atau generator dari $G$ .

Definisi (Orde Unsur)

Orde dari unsur $a \in G$ , dinotasikan dengan $∣ a ∣$ , adalah bilangan bulat positif terkecil $n$ sedemikian sehingga $a^{n} = e$ . Jika tidak ada $n > 0$ sedemikian, maka $∣ a ∣ = \infty$ .

2. Teorema Fundamental Grup Siklik

Teorema (Teorema Fundamental Grup Siklik)

Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. Lebih jauh lagi, jika $∣ ⟨ a ⟩ ∣ = n$ , maka orde dari setiap subgrup dari $⟨ a ⟩$ adalah pembagi dari $n$ .

Teorema (Generator Grup Siklik Hingga)

Misalkan $G = ⟨ a ⟩$ berorde $n$ . Unsur $a^{k}$ merupakan generator dari $G$ jika dan hanya jika:

$fpb (k, n) = 1$

Banyaknya generator dari $G$ adalah $ϕ (n)$ (Fungsi Totien Euler).

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Generator Z_12)

Tentukan semua generator dari grup siklik $(Z_{12}, +)$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Grup Berorde Prima)

Buktikan bahwa setiap grup berorde prima $p$ haruslah merupakan grup siklik.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Ambil $a \in G$ dengan $a \neq = e$ . Subgrup $⟨ a ⟩$ memiliki orde $∣ ⟨ a ⟩ ∣ = ∣ a ∣ > 1$ . Berdasarkan Teorema Lagrange, $∣ a ∣$ membagi $∣ G ∣ = p$ . Karena $p$ prima, $∣ a ∣ = p ⟹ ⟨ a ⟩ = G$ . Terbukti $G$ siklik. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Subgrup dan Kriteria Subgrup
Sub-Topik Selanjutnya: Latihan Soal Bab 1: Struktur Dasar Grup →

1. Grup Siklik dan Orde Unsur

2. Teorema Fundamental Grup Siklik

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (2 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (4)

Latihan Soal Bab 1: Struktur Dasar Grup

Subgrup dan Kriteria Subgrup

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title