Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien

Halaman ini berisi kumpulan latihan soal Bab 3 untuk memperdalam pemahaman mengenai subgrup normal dan struktur grup kuosien.

Latihan Soal Bab 3

✏️ Latihan Soal 1 (Subgrup Normal Berorde 2 Termuat di Z(G))

Buktikan bahwa jika $G$ adalah grup dan $N ⊴ G$ sedemikian sehingga $∣ N ∣ = 2$ , maka $N \subseteq Z (G)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $N = {e, a}$ dengan $a \neq = e$ . Karena $N ⊴ G$ , untuk setiap $g \in G$ , $g N g^{- 1} = N ⟹ {g e g^{- 1}, g a g^{- 1}} = {e, a}$ . Maka $g a g^{- 1} = a ⟹ g a = a g$ untuk semua $g \in G$ . Sehingga $a \in Z (G)$ , terbukti $N \subseteq Z (G)$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Subgrup Komutator G')

Misalkan $G^{'}$ adalah subgrup komutator dari $G$ , yaitu subgrup yang dibangun oleh elemen-elemen $ab a^{- 1} b^{- 1}$ .

Buktikan $G^{'} ⊴ G$ .
Buktikan $G / G^{'}$ bersifat Abelian.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Ambil $g \in G$ dan $x = ab a^{- 1} b^{- 1} \in G^{'}$ . $g x g^{- 1} = g (ab a^{- 1} b^{- 1}) g^{- 1} = (g a g^{- 1}) (g b g^{- 1}) (g a g^{- 1})^{- 1} (g b g^{- 1})^{- 1} \in G^{'}$ . Maka $G^{'} ⊴ G$ .
Pada $G / G^{'}$ , untuk sembarang $a G^{'}, b G^{'} \in G / G^{'}$ : $(a G^{'}) (b G^{'}) (a G^{'})^{- 1} (b G^{'})^{- 1} = (ab a^{- 1} b^{- 1}) G^{'} = G^{'}$ (karena $ab a^{- 1} b^{- 1} \in G^{'}$ ). Maka $(a G^{'}) (b G^{'}) = (b G^{'}) (a G^{'})$ . Terbukti $G / G^{'}$ Abelian. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Grup Kuosien
Sub-Topik Selanjutnya: Homomorfisma Grup dan Sifat Dasar →

Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien

Latihan Soal Bab 3

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (6)

Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi

Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik

Fungsi Harmonik dan Harmonik Konjugat

Lintasan (Contour) di Bidang Kompleks

Grup Kuosien

Homomorfisma Grup dan Sifat Dasar

Diskusi & Tanya Jawab

Title