Algoritma Pembagian dan Polinomial Irredusibel

Misalkan $F$ adalah lapangan dan $f(x),g(x)\in F[x]$ dengan $g(x)\ne 0$. Maka terdapat polinomial tunggal $q(x),r(x)\in F[x]$ sedemikian sehingga:

$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$

dengan $r(x)=0$ atau $\text{deg}(r)<\text{deg}(g)$.

Misalkan $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x]$. Jika terdapat bilangan prima $p$ sedemikian sehingga:

1. $p\mid a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$,
2. $p\nmid a_n$,
3. $p^2\nmid a_0$, maka $f(x)$ irredusibel atas $\mathbb{Q}$.

Jika $p(x)$ irredusibel atas $F$, maka ideal $⟨p(x)⟩$ adalah ideal maksimal di $F[x]$, sehingga $F[x]/⟨p(x)⟩$ merupakan lapangan.