Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Struktur Aljabar

Jika $G$ sebuah grup dengan subgrup $H$ sedemikian sehingga $|G|<45,|H|>10,$ dan $|G:H|>3$ maka $|G|=\dots$

Diberikan ${\mathbb{Z}}_2$ sistem bilangan bulat modulo $2$ dan himpunan $G$ yang unsur-unsurnya matriks $2\times 2$ dengan komponen di ${\mathbb{Z}}_2$ dan determinan tak nol. Banyaknya subgrup berorde $2$ adalah $\dots$

Misalkan $S_5$ adalah grup simetri berorde 5. Orde dari $(12)(345)$ di $S_5$ adalah $\dots$

Misalkan $R$ suatu ring dan $F$ suatu lapangan. Jika $\theta :F\to R$ homomorfisma ring yang tidak nol maka $\ker (\theta )=\dots$

Perhatikan ring polinom ${\mathbb{Z}}_3[x]$. Bilangan $c\in {\mathbb{Z}}_3$ sehingga $x^3+cx+1$ tidak tereduksi di ${\mathbb{Z}}_3$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu grup dan $N$ subgrup dari $G$. Buktikan bahwa perkalian $(Na).(Nb)=N(ab)$ pada himpunan koset kanan dari $N$ terdefinisi dengan baik (well defined) jika dan hanya jika $N$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $R$ suatu gelanggang komutatif. Misalkan $r\in R$, didefinisikan ${\rho }_r:R\to R$, dimana ${\rho }_r(a)=ar$ untuk setiap $a\in R$. Buktikan bahwa $R$ daerah integral jika dan hanya jika $\ker ({\rho }_r)=\{0\}$ untuk setiap $r\in R-\{0\}$.