Sifat Archimedes dan Kerapatan Bilangan Rasional

Kita memperhatikan bahwa untuk setiap $n\in \mathbb{N}$, berlaku $\frac{1}{n}>0$. Hal ini menunjukkan bahwa $0$ merupakan batas bawah bagi himpunan $S$.

Untuk membuktikan bahwa $0$ adalah batas bawah terbesar, kita memanfaatkan Akibat Sifat Archimedes. Diberikan sebarang $\epsilon >0$, terdapat bilangan asli $n_0\in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\frac{1}{n_0}<\epsilon$. Karena $\frac{1}{n_0}\in S$, maka pertidaksamaan $0+\epsilon >\frac{1}{n_0}$ berlaku.

Berdasarkan Karakterisasi Epsilon untuk Infimum, karena untuk sebarang $\epsilon >0$ terdapat elemen $s_0=\frac{1}{n_0}\in S$ yang bernilai kurang dari $0+\epsilon$, kita menyimpulkan bahwa $\inf S=0$. $■$

Kita meninjau dua bilangan real $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dan $\frac{y}{\sqrt{2}}$. Karena $x<y$ dan $\sqrt{2}>0$, maka berlaku pertidaksamaan $\frac{x}{\sqrt{2}}<\frac{y}{\sqrt{2}}$.

Berdasarkan Teorema Kerapatan Rasional, terdapat bilangan rasional tak nol $r\in \mathbb{Q}$ ($r\ne 0$) sedemikian sehingga

$\frac{x}{\sqrt{2}}<r<\frac{y}{\sqrt{2}}$

Kita mengalikan seluruh bagian pertidaksamaan dengan $\sqrt{2}>0$ sehingga diperoleh $x<r\sqrt{2}<y$. Kita memisalkan $z=r\sqrt{2}$. Karena $r$ adalah bilangan rasional tak nol dan $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, perkalian $r\sqrt{2}$ haruslah menghasilkan bilangan irasional $z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Terbukti terdapat bilangan irasional $z$ di antara $x$ dan $y$. $■$

Karena $0<x<y$, fungsi akar kuadrat mempertahankan urutan sehingga $0<\sqrt{x}<\sqrt{y}$.

Berdasarkan Teorema Kerapatan Rasional, terdapat bilangan rasional positif $r\in \mathbb{Q}$ yang berada di antara kedua nilai akar tersebut, yaitu $\sqrt{x}<r<\sqrt{y}$.

Karena seluruh suku bernilai positif, kita dapat memangkatduakan ketiga bagian pertidaksamaan tanpa mengubah arah urutan, yang menghasilkan $x<r^2<y$. Hal ini membuktikan eksistensi bilangan rasional $r$ yang kuadratnya terletak di antara $x$ dan $y$. $■$

Kita menggunakan Ketaksamaan AM-GM 2 Variabel untuk menganalisis batas bawah himpunan $S$. Untuk sebarang $m,n\in \mathbb{N}$, suku $\frac{m}{n}$ dan $\frac{n}{m}$ bernilai positif. Berdasarkan AM-GM, kita peroleh

$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\ge 2\sqrt{\frac{m}{n}\cdot \frac{n}{m}}=2$

Pertidaksamaan ini menunjukkan bahwa $2$ adalah batas bawah bagi $S$. Dengan memilih $m=n=1$, kita mendapatkan elemen $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2\in S$. Karena $2\in S$ dan $2$ adalah batas bawah, kita menyimpulkan bahwa $\inf S=2$.

Untuk menentukan supremum, kita menetapkan $n=1$ dan membiarkan $m\in \mathbb{N}$ bervariasi. Elemen himpunan berbentuk $m+\frac{1}{m}$. Berdasarkan Sifat Archimedes, himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ tidak terbatas di atas. Karena $m+\frac{1}{m}>m$, maka himpunan $S$ juga tidak terbatas di atas di $\mathbb{R}$. Oleh karena itu, himpunan $S$ tidak memiliki supremum di $\mathbb{R}$ (atau $\sup S=+\infty$). $■$

Kita membuktikan keberadaan $m$ dengan memanfaatkan Sifat Archimedes. Definisikan himpunan bilangan bulat $K=\{k\in \mathbb{Z}:k\le x\}$.

Berdasarkan Sifat Archimedes, terdapat bilangan asli $n_1,n_2\in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $x<n_1$ dan $-x<n_2⟹-n_2<x$. Hal ini menunjukkan bahwa himpunan $K$ tidak kosong (karena $-n_2\in K$) dan terbatas di atas oleh $x$.

Karena $K$ adalah himpunan bagian dari bilangan bulat yang tidak kosong dan terbatas di atas, $K$ pasti memiliki elemen terbesar yang kita sebut $m-1=\max K\in \mathbb{Z}$. Karena $m-1\in K$, maka $m-1\le x$. Karena $m-1$ adalah elemen terbesar dari $K$, maka $m=(m-1)+1\notin K$, yang berarti $x<m$.

Dengan menggabungkan kedua pertidaksamaan tersebut, kita peroleh $m-1\le x<m$. Ketunggalan $m$ diperoleh dari kenyataan bahwa interval setengah terbuka $[m-1,m)$ untuk bilangan bulat yang berbeda bersifat saling lepas. Pembuktian selesai. $■$

Kita memperhatikan bahwa untuk setiap $r\in \mathbb{Q}$, nilai mutlak $|r-\sqrt{2}|\ge 0$, sehingga $0$ merupakan batas bawah bagi himpunan $S$.

Untuk membuktikan bahwa $\inf S=0$, kita mengambil sebarang $\epsilon >0$. Berdasarkan Teorema Kerapatan Rasional pada interval $(\sqrt{2},\sqrt{2}+\epsilon )$, terdapat bilangan rasional $r_{\epsilon }\in \mathbb{Q}$ sedemikian sehingga

$\sqrt{2}<r_{\epsilon }<\sqrt{2}+\epsilon$

Mengurangkan $\sqrt{2}$ dari seluruh suku memberikan $0<r_{\epsilon }-\sqrt{2}<\epsilon$. Karena $r_{\epsilon }\in \mathbb{Q}$, elemen $s_{\epsilon }=|r_{\epsilon }-\sqrt{2}|=r_{\epsilon }-\sqrt{2}\in S$ memenuhi pertidaksamaan $s_{\epsilon }<\epsilon$.

Berdasarkan Karakterisasi Epsilon untuk Infimum, karena untuk sebarang $\epsilon >0$ terdapat $s_{\epsilon }\in S$ dengan $s_{\epsilon }<0+\epsilon$, kita menyimpulkan bahwa $\inf S=0$. $■$