Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Real

Supremum dan infimum dari himpunan $A=\left\{\frac{m}{n}+\frac{8n}{m}:m,n\in \mathbb{N}\right\}$, $\mathbb{N}$ himpunan semua bilangan asli, adalah $\dots$

Berapa banyak akar dari persamaan $a{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}$, untuk $a>0$?

Misalkan $f$ terdiferensialkan secara kontinu pada $x=a$ dan $f(a)\ne 0$. Tentukan nilai dari ${\lim }_{n\to \infty }{\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]}^n$

Untuk nilai $p$ berapakah deret $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)}^p$ konvergen?

Misalkan fungsi-fungsi $f$ dan $g$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensialkan pada $(a,b)$. Jika $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\ne 0,\forall x\in (a,b)$ dan $g(a)=a$, $g(b)=b$, tentukan nilai dari $|f(a)-f(b)|$.

Misalkan $p_n(x)$ polinom Maclaurin untuk fungsi $e^x$, berapakah derajat polinom $n$ terkecil sehingga $|e^x-p_n(x)|\le 10^{-2}$ untuk $-1\le x\le 1$?

Hitunglah $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{x^n}{\cos x}\mathrm{d}x$.

Diberikan fungsi $f$ terdiferensialkan pada $\mathbb{R}$. Jika $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(\frac{a}{x}+b\right)$ ada dan tak nol, ${\lim }_{x\to 0}\left[f\left(\frac{a}{x}+b\right)-\frac{a}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{a}{x}+b\right)\right]=\alpha .$ Berapakah nilai dari $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$?

Diberikan barisan $(x_n)$ dengan $0<x_1<x_2$ dan $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$ untuk $n=1,2,3,\dots$. Tinjau barisan $r_n=\frac{x_{n+1}}{x_n},n=1,2,3,\dots$:

(a) Tunjukkan bahwa $1<r_n<2$ untuk $n=1,2,3,4,\dots$.

(b) Selidiki kekonvergenan $(r_n)$.

Misalkan $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ terbatas. Variasi total dari $f$ pada $[a,b]$ ditulis $V_f[a,b]$, didefinisikan sebagai $V_f[a,b]:=\sup {\sum }_{i=1}^n\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|$ dengan nilai supremum diambil atas semua partisi $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ dari $[a,b]$. Di sini $V_f[a,b]$ dapat bernilai $\infty$.

(a) Hitung/taksir $V_f[0,1]$ untuk $f(x):=x\cos \left(\frac{1}{x}\right)$.

(b) Hitung/taksir $V_f[0,1]$ untuk $g(x):=x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)$.

Diberikan barisan fungsi real $(f_n),f_n:[0,2]\to \mathbb{R}$, dengan $f_n=\frac{x^n}{1+x^n},n=1,2,3,\dots .$

(a) Buktikan $(f_n)$ tidak konvergen seragam pada $[0,2]$.

(b) Tentukan $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x),x\in [0,2]$.