Himpunan Kompak dan Teorema Heine-Borel

Konsep kekompakan (compactness) merupakan salah satu gagasan paling sentral dalam analisis real yang menghubungkan sifat topologis lokal suatu himpunan dengan sifat struktural globalnya. Dalam $R$ , kekompakan menyederhanakan analisis limit, penjaminan keterbatasan, serta eksistensi nilai ekstremum pada Kekontinuan Fungsi. Pemahaman kekompakan ini berlandaskan pada Topologi Dasar di Bilangan Real serta Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum.

1. Definisi Open Cover dan Himpunan Kompak

Definisi (Open Cover (Selimut Terbuka))

Misalkan $K \subseteq R$ . Keluarga himpunan terbuka $G = {G_{α} : α \in Λ}$ dikatakan sebagai Open Cover (selimut terbuka) bagi $K$ jika $K$ terkandung di dalam gabungan seluruh anggota keluarga tersebut, yaitu

$K \subseteq ⋃_{α \in Λ} G_{α}$

Definisi (Himpunan Kompak)

Himpunan $K \subseteq R$ dikatakan kompak jika setiap Open Cover bagi $K$ selalu memiliki sub-cover yang berhingga. Artinya, terdapat indeks berhingga $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} \in Λ$ sedemikian sehingga

$K \subseteq G_{α_{1}} \cup G_{α_{2}} \cup \dots \cup G_{α_{n}}$

2. Teorema Heine-Borel dan Kekompakan Sekuensial

Definisi kekompakan berbasis open cover bersifat abstrak. Di dalam $R$ , kriteria tersebut dipadankan dengan karakteristik geometris yang sangat mudah diuji melalui Teorema Heine-Borel.

Teorema (Teorema Heine-Borel)

Himpunan $K \subseteq R$ bersifat kompak jika dan hanya jika $K$ bersifat tertutup dan terbatas.

Selain Teorema Heine-Borel, kekompakan di $R$ juga ekivalen dengan sifat kekompakan sekuensial (sequential compactness) yang berkaitan erat dengan Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass.

Teorema (Karakterisasi Kekompakan Sekuensial)

Himpunan $K \subseteq R$ bersifat kompak jika dan hanya jika setiap barisan $(x_{n})$ di dalam $K$ memiliki subbarisan $(x_{n_{k}})$ yang konvergen ke titik $x \in K$ .

3. Contoh Pembuktian Ketidak-kompakan

Contoh (Uji Ketidak-kompakan Interval Setengah Terbuka)

Tunjukkan bahwa interval setengah terbuka $S = (0, 1]$ tidak kompak menggunakan definisi Open Cover.

Penyelesaian

Kita mendefinisikan keluarga himpunan terbuka $G_{n} = (\frac{1}{n}, 2)$ untuk setiap bilangan asli $n \in N$ .

Kita memperhatikan bahwa gabungan dari seluruh $G_{n}$ adalah $⋃_{n = 1}^{\infty} G_{n} = (0, 2)$ . Karena $S = (0, 1] \subset (0, 2)$ , maka keluarga $G = {G_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ terbukti merupakan Open Cover bagi $S$ .

Apabila kita mengambil sebarang sub-cover berhingga ${G_{n_{1}}, G_{n_{2}}, \dots, G_{n_{k}}}$ , kita memisalkan indeks maksimum $M = max {n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}}$ . Gabungan dari sub-cover berhingga ini adalah

$G_{n_{1}} \cup \dots \cup G_{n_{k}} = (\frac{1}{M}, 2)$

Namun, interval $(\frac{1}{M}, 2)$ tidak memuat titik-titik anggota $S$ yang terletak pada interval $(0, \frac{1}{M}]$ . Karena kita telah menemukan sebuah Open Cover dari $S$ yang tidak memiliki sub-cover berhingga, kita menyimpulkan bahwa interval $S = (0, 1]$ tidak kompak. $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Uji Kompaktifikasi Heine-Borel)

Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut kompak atau tidak di $R$ dengan menggunakan Teorema Heine-Borel

$A = [0, 10]$
$B = {x \in R : x^{2} + x - 6 \leq 0}$
$C = [0, \infty)$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Untuk himpunan $A = [0, 10]$ , $A$ merupakan interval tertutup sehingga $A$ tertutup di $R$ . Selain itu, untuk setiap $x \in A$ berlaku $∣ x ∣ \leq 10$ , sehingga $A$ terbatas. Berdasarkan Teorema Heine-Borel, kita menyimpulkan bahwa $A$ adalah himpunan kompak.

Untuk himpunan $B$ , kita menyederhanakan bentuk pertidaksamaan menjadi $(x + 3) (x - 2) \leq 0$ , yang memberikan interval tertutup $B = [- 3, 2]$ . Himpunan $B$ bersifat tertutup dan terbatas oleh $M = 3$ . Berdasarkan Teorema Heine-Borel, kita menyimpulkan bahwa $B$ adalah himpunan kompak.

Untuk himpunan $C = [0, \infty)$ , meskipun $C$ merupakan himpunan tertutup, $C$ tidak terbatas di atas. Berdasarkan Sifat Archimedes, tidak ada bilangan real $M > 0$ yang dapat membatasi seluruh anggota $C$ . Karena $C$ tidak terbatas, Teorema Heine-Borel menjamin bahwa $C$ tidak kompak. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Gabungan Berhingga Himpunan Kompak)

Buktikan bahwa jika $K_{1}$ dan $K_{2}$ adalah himpunan-himpunan kompak di $R$ , maka gabungannya $K_{1} \cup K_{2}$ juga merupakan himpunan kompak.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Kita menggunakan Teorema Heine-Borel. Karena $K_{1}$ dan $K_{2}$ keduanya kompak, maka $K_{1}$ dan $K_{2}$ masing-masing bersifat tertutup dan terbatas di $R$ .

Berdasarkan sifat Topologi Dasar di Bilangan Real, gabungan dari dua himpunan tertutup $K_{1} \cup K_{2}$ dipastikan merupakan himpunan tertutup di $R$ .

Karena $K_{1}$ terbatas oleh $M_{1} > 0$ dan $K_{2}$ terbatas oleh $M_{2} > 0$ , kita memilih $M = max {M_{1}, M_{2}} > 0$ . Untuk setiap $x \in K_{1} \cup K_{2}$ , berlaku $∣ x ∣ \leq M$ , yang membuktikan bahwa $K_{1} \cup K_{2}$ terbatas.

Karena $K_{1} \cup K_{2}$ terbukti tertutup dan terbatas di $R$ , berdasarkan Teorema Heine-Borel kita menyimpulkan bahwa $K_{1} \cup K_{2}$ adalah himpunan kompak. $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Himpunan Bagian Tertutup dari Himpunan Kompak)

Misalkan $K \subseteq R$ adalah himpunan kompak. Buktikan bahwa setiap himpunan bagian $F \subseteq K$ yang tertutup di $R$ juga merupakan himpunan kompak.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Karena $K$ adalah himpunan kompak, berdasarkan Teorema Heine-Borel $K$ bersifat terbatas di $R$ , yang berarti terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $∣ x ∣ \leq M$ untuk seluruh $x \in K$ .

Karena $F \subseteq K$ , maka setiap elemen $f \in F$ juga merupakan elemen dari $K$ . Akibatnya pertidaksamaan $∣ f ∣ \leq M$ berlaku untuk seluruh $f \in F$ , yang membuktikan bahwa $F$ terbatas.

Hipotesis soal menyatakan bahwa $F$ adalah himpunan tertutup. Karena $F$ terbukti tertutup dan terbatas di $R$ , berdasarkan Teorema Heine-Borel kita menyimpulkan bahwa $F$ adalah himpunan kompak. $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Eksistensi Maksimum dan Minimum pada Himpunan Kompak)

Buktikan bahwa setiap himpunan kompak tak kosong $K \subseteq R$ memuat elemen maksimum dan minimumnya, yaitu $sup K \in K$ dan $in f K \in K$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Karena $K$ kompak, berdasarkan Teorema Heine-Borel $K$ terbatas di atas dan terbatas di bawah di $R$ . Berdasarkan Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum, nilai $s^{*} = sup K$ dan $s_{*} = in f K$ keduanya ada di $R$ .

Berdasarkan Karakterisasi Epsilon untuk Supremum, untuk setiap $ε > 0$ terdapat $s_{ε} \in K$ sedemikian sehingga $s^{*} - ε < s_{ε} \leq s^{*}$ . Hal ini menunjukkan bahwa $s^{*}$ merupakan titik limit dari $K$ (atau $s^{*} \in K$ ).

Karena $K$ kompak, $K$ bersifat tertutup di $R$ , sehingga $K$ memuat seluruh titik limitnya. Oleh karena itu, haruslah $s^{*} = sup K \in K$ . Dengan argumen yang seimbang untuk infimum, kita juga memperoleh $s_{*} = in f K \in K$ . Karena $sup K \in K$ dan $in f K \in K$ , terbukti $K$ memiliki elemen maksimum dan minimum. $■$

✏️ Latihan Soal 5 (Teorema Irisan Cantor / Nested Compact Sets (Tipe ONMIPA PT))

Misalkan ${K_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ adalah barisan himpunan kompak tak kosong di $R$ yang terkurung monoton turun, yaitu $K_{1} \supseteq K_{2} \supseteq K_{3} \supseteq \dots$ . Buktikan bahwa irisannya tidak kosong, yaitu $⋂_{n = 1}^{\infty} K_{n} \neq = \emptyset$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Untuk setiap $n \in N$ , karena $K_{n}$ adalah himpunan kompak tak kosong, kita dapat memilih satu elemen $x_{n} \in K_{n}$ .

Karena $K_{n} \subseteq K_{1}$ untuk seluruh $n \in N$ , maka seluruh suku dari barisan $(x_{n})$ terkandung di dalam $K_{1}$ . Karena $K_{1}$ terbatas, barisan $(x_{n})$ merupakan barisan terbatas di $R$ . Berdasarkan Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass, barisan $(x_{n})$ memiliki subbarisan $(x_{n_{k}})$ yang konvergen ke suatu titik $x \in R$ .

Kita hendak membuktikan bahwa $x \in K_{m}$ untuk setiap $m \in N$ . Diberikan sebarang $m \in N$ . Untuk seluruh $k$ yang cukup besar sedemikian sehingga $n_{k} \geq m$ , karena sifat monoton turun $K_{n_{k}} \subseteq K_{m}$ , maka elemen subbarisan $x_{n_{k}} \in K_{m}$ .

Karena $K_{m}$ bersifat tertutup dan seluruh suku ekor dari subbarisan $(x_{n_{k}})$ berada di dalam $K_{m}$ , limit subbarisan tersebut harus terkandung di dalam $K_{m}$ , yaitu $x = lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} \in K_{m}$ . Karena $x \in K_{m}$ berlaku untuk seluruh $m \in N$ , kita menyimpulkan bahwa $x \in ⋂_{n = 1}^{\infty} K_{n}$ , yang membuktikan bahwa irisannya tidak kosong. $■$

✏️ Latihan Soal 6 (Peta Kontinu Himpunan Kompak adalah Kompak (Tipe ONMIPA PT))

Misalkan $K \subseteq R$ adalah himpunan kompak dan $f : K \to R$ adalah fungsi kontinu pada $K$ . Buktikan bahwa bayangan fungsi $f (K) = {f (x) : x \in K}$ merupakan himpunan kompak di $R$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Kita membuktikan kekompakan $f (K)$ dengan memanfaatkan karakterisasi kekompakan sekuensial.

Kita mengambil sebarang barisan $(y_{n})$ di dalam $f (K)$ . Berdasarkan definisi bayangan fungsi, untuk setiap $n \in N$ terdapat titik $x_{n} \in K$ sedemikian sehingga $f (x_{n}) = y_{n}$ .

Karena $(x_{n})$ adalah barisan di dalam himpunan kompak $K$ , berdasarkan sifat kekompakan sekuensial, $(x_{n})$ memiliki subbarisan $(x_{n_{k}})$ yang konvergen ke suatu titik $x \in K$ .

Karena fungsi $f$ kontinu pada $K$ , kekontinuan berbasis barisan menjamin bahwa $f (x_{n_{k}}) \to f (x)$ saat $k \to \infty$ . Karena $y_{n_{k}} = f (x_{n_{k}})$ dan $x \in K$ , maka titik $y = f (x) \in f (K)$ .

Kita telah menunjukkan bahwa sebarang barisan $(y_{n})$ di dalam $f (K)$ memiliki subbarisan $(y_{n_{k}})$ yang konvergen ke titik $y \in f (K)$ . Berdasarkan Karakterisasi Kekompakan Sekuensial, kita menyimpulkan bahwa $f (K)$ adalah himpunan kompak di $R$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Topologi Dasar di Bilangan Real
Sub-Topik Selanjutnya: Limit Barisan & Konvergensi (Bab 2) →

Himpunan Kompak dan Teorema Heine-Borel

1. Definisi Open Cover dan Himpunan Kompak

2. Teorema Heine-Borel dan Kekompakan Sekuensial

3. Contoh Pembuktian Ketidak-kompakan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (2 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (4)

Limit Barisan dan Konvergensi

Topologi Dasar di Bilangan Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Diskusi & Tanya Jawab

Title