Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Konsep sub-barisan memungkinkan kita untuk menganalisis perilaku sebagian dari suku-suku barisan asal. Hal ini sangat ampuh untuk menguji divergensi barisan berosilasi atau menemukan titik akumulasi pada himpunan terbatas.

1. Definisi Subbarisan & Kriteria Konvergensi

Definisi (Subbarisan (Subsequence))

Misalkan $(x_{n})$ adalah barisan bilangan real dan $n_{1} < n_{2} < n_{3} < \dots$ adalah barisan bilangan asli yang naik tegas. Barisan $(x_{n_{k}})$ yang dibentuk oleh suku-suku $(x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, x_{n_{3}}, \dots)$ disebut sebagai subbarisan dari $(x_{n})$ .

Teorema (Kriteria Konvergensi Subbarisan)

Jika barisan $(x_{n})$ konvergen ke $x$ , maka setiap subbarisannya $(x_{n_{k}})$ juga konvergen ke $x$ .

Konsekuensi Pengujian Divergensi: Jika suatu barisan $(x_{n})$ memiliki dua subbarisan yang konvergen ke nilai limit yang berbeda ( $L_{1} \neq = L_{2}$ ), maka barisan $(x_{n})$ dipastikan divergen.

2. Teorema Bolzano-Weierstrass

Teorema (Teorema Bolzano-Weierstrass)

Setiap barisan bilangan real yang terbatas pasti memiliki setidaknya satu subbarisan yang konvergen.

Teorema ini menjamin bahwa keterbatasan barisan adalah syarat cukup untuk mengekstrak struktur konvergen di dalamnya.

3. Contoh Uji Divergensi Subbarisan

Contoh (Divergensi Barisan Osilasi (-1)^n)

Tunjukkan bahwa barisan $x_{n} = (- 1)^{n}$ divergen menggunakan kriteria subbarisan.

Penyelesaian:

Andaikan $(x_{n})$ konvergen ke $L$ . Maka seluruh subbarisannya harus konvergen ke $L$ .
Pilih subbarisan genap: $x_{2 k} = (- 1)^{2 k} = 1 ⟹ lim_{k \to \infty} x_{2 k} = 1 ⟹ L = 1$ .
Pilih subbarisan ganjil: $x_{2 k - 1} = (- 1)^{2 k - 1} = - 1 ⟹ lim_{k \to \infty} x_{2 k - 1} = - 1 ⟹ L = - 1$ .
Terjadi kontradiksi karena $1 \neq = - 1$ . Disimpulkan barisan $x_{n} = (- 1)^{n}$ divergen. $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Subbarisan Konvergen dari Barisan Tak Terbatas)

Berikan contoh barisan $(x_{n})$ yang tidak terbatas tetapi memiliki subbarisan yang konvergen.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Definisikan barisan $(x_{n})$ sebagai berikut:

$x_{n} = {n, 0, jika n ganjil jika n genap ⟹ (1, 0, 3, 0, 5, 0, \dots)$

Barisan $(x_{n})$ tidak terbatas di atas karena suku-suku ganjil menuju $\infty$ .
Namun subbarisan genap $x_{2 k} = 0$ konvergen ke $0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Ketunggalan Limit Seluruh Subbarisan Konvergen)

Misalkan $(x_{n})$ adalah barisan terbatas. Buktikan bahwa jika setiap subbarisan yang konvergen dari $(x_{n})$ memiliki nilai limit yang sama yaitu $x$ , maka barisan $(x_{n})$ sendiri konvergen ke $x$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Andaikan $(x_{n})$ tidak konvergen ke $x$ . Maka terdapat $ε_{0} > 0$ dan subbarisan $(x_{n_{k}})$ sedemikian sehingga $∣ x_{n_{k}} - x ∣ \geq ε_{0}$ untuk semua $k \in N$ . Karena $(x_{n})$ terbatas, maka subbarisan $(x_{n_{k}})$ juga terbatas. Berdasarkan Teorema Bolzano-Weierstrass, $(x_{n_{k}})$ memiliki subbarisan yang konvergen $(x_{n_{k_{j}}})$ , katakanlah ke $L$ . Karena $∣ x_{n_{k_{j}}} - x ∣ \geq ε_{0}$ , maka dengan mengambil limit $j \to \infty$ diperoleh $∣ L - x ∣ \geq ε_{0} ⟹ L \neq = x$ . Hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa semua subbarisan konvergen harus memiliki limit $x$ . Disimpulkan $(x_{n}) \to x$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Limit Subbarisan Trigonometri)

Misalkan $x_{n} = sin (\frac{nπ}{2})$ . Tentukan himpunan seluruh nilai limit subbarisan yang mungkin dari $(x_{n})$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Hitung beberapa suku awal $(x_{n})$ :

$n = 1 : sin (π /2) = 1$
$n = 2 : sin (π) = 0$
$n = 3 : sin (3 π /2) = - 1$
$n = 4 : sin (2 π) = 0$ Barisan berulang dengan periode 4: $(1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, 0, \dots)$ .

Subbarisan yang terbentuk memiliki 3 titik limit unik: ${- 1, 0, 1}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Teorema Apit & Konvergensi Monoton
Sub-Topik Selanjutnya: Barisan Cauchy & Kriteria Konvergensi Cauchy →

Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

1. Definisi Subbarisan & Kriteria Konvergensi

2. Teorema Bolzano-Weierstrass

3. Contoh Uji Divergensi Subbarisan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (5)

Barisan Cauchy dan Kriteria Konvergensi Cauchy

Teorema Apit dan Konvergensi Barisan Monoton

Himpunan Kompak dan Teorema Heine-Borel

Penerapan Kriteria Barisan dalam Soal ONMIPA

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Diskusi & Tanya Jawab

Title