Analisis Real 🌱 Seedling ⏳ Belum direview

Kekontinuan Fungsi dan Teorema Nilai Antara

Kekontinuan titik dan himpunan, Teorema Nilai Ekstrem, dan Teorema Nilai Antara (IVT).

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026

🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Kekontinuan merupakan sifat lokal dan global fungsi yang menjamin bahwa perubahan kecil pada domain hanya menghasilkan perubahan kecil pada nilai range.

1. Definisi Kekontinuan & Kriteria Barisan

Definisi (Kekontinuan di Satu Titik)

Misalkan $A \subseteq R$ , $f : A \to R$ , dan $c \in A$ . Fungsi $f$ dikatakan kontinu di titik $c$ jika untuk setiap $ε > 0$ , terdapat $δ > 0$ sedemikian sehingga untuk setiap $x \in A$ :

$∣ x - c ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - f (c) ∣ < ε$

Definisi ini mengimplikasikan tiga syarat utama:

$f (c)$ terdefinisi.
$lim_{x \to c} f (x)$ ada.
$lim_{x \to c} f (x) = f (c)$ .

Teorema (Kriteria Barisan Kekontinuan)

Fungsi $f : A \to R$ kontinu di $c \in A$ jika dan hanya jika untuk setiap barisan $(x_{n})$ di $A$ yang konvergen ke $c$ , barisan nilai fungsi $(f (x_{n}))$ konvergen ke $f (c)$ .

2. Sifat Fungsi Kontinu pada Interval Tertutup

Teorema (Teorema Nilai Ekstrem (Extreme Value Theorem))

Jika $f : [a, b] \to R$ kontinu pada interval tertutup dan terbatas $[a, b]$ , maka $f$ terbatas dan mencapai nilai maksimum mutlak serta minimum mutlak pada $[a, b]$ .

Teorema (Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem / IVT))

Misalkan $f : [a, b] \to R$ kontinu pada $[a, b]$ . Jika $k$ adalah sebarang bilangan di antara $f (a)$ dan $f (b)$ , maka terdapat setidaknya satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga:

$f (c) = k$

Akibat (Teorema Bolzano): Jika $f (a) \cdot f (b) < 0$ , maka terdapat $c \in (a, b)$ sehingga $f (c) = 0$ .

3. Contoh Pembuktian Akar Persamaan

Contoh (Eksistensi Akar Polinomial)

Buktikan bahwa persamaan $x^{3} - x - 1 = 0$ memiliki setidaknya satu akar real di dalam interval $[1, 2]$ .

Penyelesaian:

Definisikan $f (x) = x^{3} - x - 1$ . Karena $f$ polinomial, $f$ kontinu pada $[1, 2]$ .
Hitung nilai ujung interval:
1. $f (1) = 1^{3} - 1 - 1 = - 1 < 0$
2. $f (2) = 2^{3} - 2 - 1 = 5 > 0$
Karena $f (1) < 0 < f (2)$ , berdasarkan Teorema Nilai Antara terdapat $c \in (1, 2)$ sedemikian sehingga $f (c) = 0$ . $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Kekontinuan Fungsi Dihilangkan Singularity x sin(1/x))

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik $x = 0$ :

$f (x) = {x sin (1/ x), 0, jika x \neq = 0 jika x = 0$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Diberikan $ε > 0$ . Pilih $δ = ε$ .
Untuk $0 < ∣ x - 0∣ < δ$ : $∣ f (x) - f (0) ∣ = ∣ x sin (1/ x) - 0∣ = ∣ x ∣∣ sin (1/ x) ∣ \leq ∣ x ∣ \cdot 1 = ∣ x ∣ < δ = ε$
Karena $lim_{x \to 0} f (x) = 0 = f (0)$ , disimpulkan $f$ kontinu di $x = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Teorema Titik Tetap (Fixed Point Theorem))

Buktikan bahwa jika $f : [a, b] \to [a, b]$ kontinu pada $[a, b]$ , maka terdapat $c \in [a, b]$ sedemikian sehingga $f (c) = c$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Definisikan $g (x) = f (x) - x$ . Karena $f (x)$ dan $x$ kontinu, maka $g (x)$ kontinu pada $[a, b]$ .
Hitung nilai ujung:
1. $g (a) = f (a) - a \geq 0$ (karena $f (a) \in [a, b]$ )
2. $g (b) = f (b) - b \leq 0$ (karena $f (b) \in [a, b]$ )
Jika $g (a) = 0 ⟹ f (a) = a$ (selesai). Jika $g (b) = 0 ⟹ f (b) = b$ (selesai).
Jika $g (a) > 0$ dan $g (b) < 0$ , berdasarkan Teorema Nilai Antara terdapat $c \in (a, b)$ sehingga $g (c) = 0 ⟹ f (c) = c$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Persamaan Fungsional Cauchy)

Misalkan $f : R \to R$ memenuhi $f (x + y) = f (x) + f (y)$ untuk semua $x, y \in R$ . Buktikan bahwa jika $f$ kontinu di $x = 0$ , maka $f$ kontinu di setiap titik $c \in R$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Perhatikan bahwa $f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ⟹ f (0) = 0$ .
Karena $f$ kontinu di $0$ , maka $lim_{h \to 0} f (h) = f (0) = 0$ .
Untuk sebarang $c \in R$ : $lim_{x \to c} f (x) = lim_{h \to 0} f (c + h) = lim_{h \to 0} (f (c) + f (h)) = f (c) + lim_{h \to 0} f (h) = f (c) + 0 = f (c)$
Disimpulkan $f$ kontinu di setiap titik $c \in R$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Limit Fungsi & Kriteria Barisan
Sub-Topik Selanjutnya: Kekontinuan Seragam →

🏆 Soal ONMIPA Terkait (32 Soal)

Bank Soal ONMIPA

Berikut adalah daftar soal ONMIPA-PT dari tahun-tahun sebelumnya yang menguji dan menerapkan konsep materi pada halaman ini:

1. Definisi Kekontinuan & Kriteria Barisan

2. Sifat Fungsi Kontinu pada Interval Tertutup

3. Contoh Pembuktian Akar Persamaan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (32 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (20)

Himpunan Kompak dan Teorema Heine-Borel

Kekontinuan Seragam (Uniform Continuity)

Ketaksamaan Rataan Aritmetika-Geometri (AM-GM) dan Aplikasinya

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Limit Fungsi dan Kriteria Barisan

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab