Determinan dan Matriks Blok

Determinan adalah pemetaan yang mengaitkan setiap matriks persegi dengan sebuah skalar. Nilai determinan menentukan apakah matriks memiliki invers atau tidak.

1. Sifat-Sifat Utama Determinan

Teorema (Sifat-Sifat Determinan)

Untuk matriks $A, B \in M_{n \times n} (F)$ :

$det (A^{T}) = det (A)$ .
$det (A B) = det (A) det (B)$ .
$det (k A) = k^{n} det (A)$ .
$det (A) \neq = 0 ⟺ A$ invertibel. Jika invertibel, $det (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t ( A )}$ .
Menukar dua baris mengubah tanda determinan ( $det \to - det$ ).

2. Determinan Matriks Blok

Proposisi (Determinan Matriks Blok Segitiga)

Jika $A$ dan $C$ adalah matriks persegi:

$det (A 0 B C) = det (A) det (C)$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Determinan Matriks Blok AD - CB)

Misalkan $A, B, C, D \in M_{n \times n} (R)$ . Jika $A$ invertibel dan $A C = C A$ , buktikan $det (A C B D) = det (A D - C B)$ .

Latihan Soal Section 1.3

✏️ Latihan Soal 1 (Determinan Matriks Segitiga Bertingkat)

Hitunglah determinan dari matriks $n \times n$ berikut:

$111 ⋮ 1 122 ⋮ 2 123 ⋮ 3 \dots \dots \dots ⋱ \dots 123 ⋮ n$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Kurangi baris ke- $i$ dengan baris ke- $(i - 1)$ untuk $i = n, n - 1, \dots, 2$ . Matriks berubah menjadi matriks segitiga bawah dengan elemen diagonal utama semuanya $1$ . Maka determinannya adalah $1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Determinan Matriks Anti-Simetris Ukuran Ganjil)

Misalkan $A$ adalah matriks anti-simetris ( $A^{T} = - A$ ) berukuran $n \times n$ . Jika $n$ ganjil, buktikan $det (A) = 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Hitung $det (A) = det (A^{T}) = det (- A) = (- 1)^{n} det (A)$ . Karena $n$ ganjil, $(- 1)^{n} = - 1 ⟹ det (A) = - det (A) ⟹ 2 det (A) = 0 ⟹ det (A) = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Determinan I + A untuk Matriks Nilpoten)

Buktikan bahwa jika $A^{k} = 0$ (matriks nilpoten), maka $det (I + A) = 1$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Seluruh nilai eigen dari matriks nilpoten $A$ adalah $λ_{i} = 0$ . Maka nilai eigen dari $I + A$ adalah $1 + λ_{i} = 1$ . Determinan adalah hasil kali seluruh nilai eigen: $det (I + A) = 1^{n} = 1$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Determinan Non-Negatif Matriks Blok Kompleks)

Jika $A, B \in M_{n \times n} (R)$ , tunjukkan bahwa $det (A - B B A) \geq 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Lakukan transformasi keserupaan atas $C$ : matriks blok tersebut serupa dengan matriks diagonal blok $(A + i B 0 0 A - i B)$ . Determinan $= det (A + i B) det (A - i B) = det (A + i B) \overline{det (A + i B)} = ∣ det (A + i B) ∣^{2} \geq 0$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Sistem Persamaan Linear dan Matriks Invers
Sub-Topik Selanjutnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 1 →

1. Sifat-Sifat Utama Determinan

2. Determinan Matriks Blok

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 1.3

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (3)

Soal Latihan Pengayaan Bab 1: Matriks dan Determinan

Operasi Matriks dan Sifat Aljabar Matriks

Sistem Persamaan Linear dan Matriks Invers

Diskusi & Tanya Jawab

Title